Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(-3-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}(2-\lambda)
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(-2-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{2}
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(-2-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(-3-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{2}
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(-3-\lambda)^{3}(4-\lambda)(2-\lambda)
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{2}(-3-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}
(G) p_{c}^{A}(\lambda)=(-2-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{3}(-5-\lambda)(-4-\lambda)
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(-2-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}
Passo 1
O problema pede o polinômio característico da matriz A dada (ou seja, calcular \det(A-\lambda I) ). As informações relevantes do enunciado que vou usar são: \n
A matriz A é a matriz 8\times 8
Observações que já ficam claras a partir da matriz: as linhas 6,7,8 têm zeros nas colunas 1 a 5; as linhas 3,4,5 têm zeros nas colunas 1 e 2. Essa estrutura sugere decomposição em blocos (vou explorar isso na resolução).
Passo 2
Conceito importante (aula rápida): se uma matriz tem forma de bloco triangular superior
\begin{pmatrix}B & C\\[2pt]0 & D\end{pmatrix},
então o determinante (e, em particular, \det(A-\lambda I)) fatora como
Isto ocorre porque a presença do bloco nulo 0 abaixo da diagonal faz com que a expansão do determinante separe os blocos diagonalmente. Aqui vamos aplicar essa propriedade ao calcular \det(A-\lambda I).]
Passo 3
Observe a divisão em blocos de A pelas primeiras 5 linhas/colunas e pelas últimas 3 linhas/colunas:
A=\begin{pmatrix} B & C\\[2pt] 0 & D \end{pmatrix},
onde B é 5\times5 (linhas e colunas 1 a 5), C é 5\times3 (colunas 6 a 8), e D é 3\times3 (linhas e colunas 6 a 8). Então