Q13: Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr} 2 & 1 & -2 & -7 & -2 & 1 & 7 & -2 \\\\ -9 & 8 & 6 & 3 & 5 & -1 & -6 & -7 \\\\ 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & -6 & -6 & -7 \\\\ 0 & 0 & -2 & -2 & 1 & 5 & 7 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -4 & -1 & -2 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -5 & -3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -35 & 9 \end{array}\right]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(-3-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}(2-\lambda)
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(-2-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{3}(-5-\lambda)^{2}
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(-2-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(-3-\lambda)^{3}(4-\lambda)^{2}
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(-3-\lambda)^{3}(4-\lambda)(2-\lambda)
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{2}(-3-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}
(G) p_{c}^{A}(\lambda)=(-2-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{3}(-5-\lambda)(-4-\lambda)
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(-2-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(-5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}

Passo 1

O problema pede o polinômio característico da matriz A dada (ou seja, calcular \det(A-\lambda I) ). As informações relevantes do enunciado que vou usar são: \n
A matriz A é a matriz 8\times 8
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 & -7 & -2 & 1 & 7 & -2 \\\\ -9 & 8 & 6 & 3 & 5 & -1 & -6 & -7 \\\\ 0 & 0 & 5 & 0 & 0 & -6 & -6 & -7 \\\\ 0 & 0 & -2 & -2 & 1 & 5 & 7 & 1 \\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -4 & -1 & -2 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -5 & -3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -35 & 9 \end{pmatrix}.
Observações que já ficam claras a partir da matriz: as linhas 6,7,8 têm zeros nas colunas 1 a 5; as linhas 3,4,5 têm zeros nas colunas 1 e 2. Essa estrutura sugere decomposição em blocos (vou explorar isso na resolução).

Passo 2

Conceito importante (aula rápida): se uma matriz tem forma de bloco triangular superior
\begin{pmatrix}B & C\\[2pt]0 & D\end{pmatrix},
então o determinante (e, em particular, \det(A-\lambda I)) fatora como
\det\begin{pmatrix}B & C\\[2pt]0 & D\end{pmatrix}=\det(B)\cdot\det(D).
Isto ocorre porque a presença do bloco nulo 0 abaixo da diagonal faz com que a expansão do determinante separe os blocos diagonalmente. Aqui vamos aplicar essa propriedade ao calcular \det(A-\lambda I).]

Passo 3

Observe a divisão em blocos de A pelas primeiras 5 linhas/colunas e pelas últimas 3 linhas/colunas:
A=\begin{pmatrix} B & C\\[2pt] 0 & D \end{pmatrix},
onde B é 5\times5 (linhas e colunas 1 a 5), C é 5\times3 (colunas 6 a 8), e D é 3\times3 (linhas e colunas 6 a 8). Então
\det(A-\lambda I)=\det(B-\lambda I_5)\cdot\det(D-\lambda I_3).
Vou calcular separadamente \det(B-\lambda I_5) e \det(D-\lambda I_3).]

Passo 4

Escrevendo B explicitamente (linhas/colunas 1 a 5):
B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 & -7 & -2\\\\ -9 & 8 & 6 & 3 & 5\\\\ 0 & 0 & 5 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -2 & -2 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 & -1 & -4 \end{pmatrix}.
Repare que B também é bloco superior, com a partição
B=\begin{pmatrix}E & F\\[2pt]0 & G\end{pmatrix},
onde E é 2\times2 (colunas/linhas 1,2) e G é 3\times3 (colunas/linhas 3,4,5). Assim
\det(B-\lambda I_5)=\det(E-\lambda I_2)\cdot\det(G-\lambda I_3).]

Passo 5

Calcule \det(E-\lambda I_2). O bloco E é
E=\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]-9 & 8\end{pmatrix}.
Então
\det(E-\lambda I_2)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[2pt]-9 & 8-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(8-\lambda)-(-9)\cdot1.
Desenvolvendo:
(2-\lambda)(8-\lambda)+9=\lambda^2-10\lambda+25.
Esse polinômio é um quadrado perfeito:
\lambda^2-10\lambda+25=(\lambda-5)^2.
Portanto
\det(E-\lambda I_2)=(\lambda-5)^2=(5-\lambda)^2.
(Aqui usei a identidade (\lambda-5)^2=(5-\lambda)^2, pois o quadrado elimina o sinal.)]

Passo 6

Agora calcule \det(G-\lambda I_3). O bloco G é
G=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0\\[2pt] -2 & -2 & 1\\[2pt] -1 & -1 & -4 \end{pmatrix}.
Então
G-\lambda I_3=\begin{pmatrix} 5-\lambda & 0 & 0\\[2pt] -2 & -2-\lambda & 1\\[2pt] -1 & -1 & -4-\lambda \end{pmatrix}.
Como a primeira linha tem zeros nas colunas 2 e 3, o determinante separa:
\det(G-\lambda I_3)=(5-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}-2-\lambda & 1\\[2pt]-1 & -4-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule o 2\times2:
(-2-\lambda)(-4-\lambda)-1\cdot(-1)=(\lambda+2)(\lambda+4)+1=\lambda^2+6\lambda+9.
Reconhecendo o quadrado:
\lambda^2+6\lambda+9=(\lambda+3)^2.
Portanto
\det(G-\lambda I_3)=(5-\lambda)(\lambda+3)^2.
Podemos reescrever (\lambda+3)^2 como ( -3-\lambda)^2 (mesma coisa, porque o quadrado zera o sinal). Assim
\det(G-\lambda I_3)=(5-\lambda)(-3-\lambda)^2.]

Passo 7

Combinando os blocos de B já temos
\det(B-\lambda I_5)=\det(E-\lambda I_2)\cdot\det(G-\lambda I_3)=(5-\lambda)^2\cdot(5-\lambda)\cdot(-3-\lambda)^2=(5-\lambda)^3(-3-\lambda)^2.

Passo 8

Agora calcule \det(D-\lambda I_3) onde o bloco D (linhas/colunas 6,7,8) é
D=\begin{pmatrix} -3 & 0 & 0\\[2pt] -5 & -3 & 1\\[2pt] 1 & -35 & 9 \end{pmatrix}.
Forme D-\lambda I_3:
D-\lambda I_3=\begin{pmatrix} -3-\lambda & 0 & 0\\[2pt] -5 & -3-\lambda & 1\\[2pt] 1 & -35 & 9-\lambda \end{pmatrix}.
De novo, a primeira linha tem zeros nas colunas 2 e 3, então
\det(D-\lambda I_3)=(-3-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}-3-\lambda & 1\\[2pt]-35 & 9-\lambda\end{pmatrix}.
Calcule o 2\times2:
(-3-\lambda)(9-\lambda)-1\cdot(-35)=(\lambda^2-6\lambda-27)+35=\lambda^2-6\lambda+8.
Fatorando o quadrático:
\lambda^2-6\lambda+8=(\lambda-2)(\lambda-4).
Logo
\det(D-\lambda I_3)=(-3-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-4).
Podemos reescrever (\lambda-2)(\lambda-4)=(2-\lambda)(4-\lambda) porque trocar o sinal em cada fator dá (-1)^2=1. Assim, uma forma conveniente é
\det(D-\lambda I_3)=(-3-\lambda)(2-\lambda)(4-\lambda).]

Passo 9

Finalmente, juntando tudo:
\det(A-\lambda I)=\det(B-\lambda I_5)\cdot\det(D-\lambda I_3)=(5-\lambda)^3(-3-\lambda)^2\cdot(-3-\lambda)(2-\lambda)(4-\lambda).
Simplificando os expoentes:
\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)^3(-3-\lambda)^3(2-\lambda)(4-\lambda).
Esta expressão coincide exatamente com a alternativa (E).

Resposta

(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(5-\lambda)^{3}(-3-\lambda)^{3}(4-\lambda)(2-\lambda)

Exercícios relacionados