Q14: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(9 x-8 y-3 z, \frac{y}{4}+7 z, z\right)
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 6. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(B) é maior do que o volume de Q.
(C) é menor do que o volume de Q.
(D) é igual ao volume de Q.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
Também é dado que Q\subset\mathbb{R}^{3} é um paralelepípedo com volume 6. A pergunta é: qual das alternativas (A), (B), (C) ou (D) descreve corretamente o volume de T(Q) em relação ao volume de Q?
Informações relevantes:
•A transformação linear T está totalmente especificada.
•O volume de Q vale 6.
•Queremos comparar \operatorname{vol}(T(Q)) com \operatorname{vol}(Q).
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Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n} representada por uma matriz A na base padrão, o efeito de T sobre volumes é dado por
O que isso significa: o determinante de A mede quanto a transformação “espalha” ou “contrai” volumes. Se |\det(A)|>1, volumes aumentam; se |\det(A)|<1, volumes diminuem; se |\det(A)|=1, volumes são preservados (podem mudar orientação se \det(A)<0, mas o valor absoluto cuida disso).
Exemplo simples para intuição (2D): para a matriz \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix} temos \det=2, então um retângulo de área A vira outro de área 2A — esticou na direção x e duplicou a área.
Passo 3
Vamos escrever a matriz A que representa T na base canônica. Pegamos as imagens dos vetores da base:
Cálculo do determinante: a matriz A é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal são zero), então o determinante é o produto das entradas da diagonal. Assim
Resumo objetivo e motivador: como \det(A)=\tfrac{9}{4}>1, T multiplica volumes por \tfrac{9}{4}, portanto o paralelepípedo T(Q) tem volume maior que o de Q. Vai dar certo na prova: identifique a matriz, calcule o determinante (triangular facilita), e compare |\det| com 1.