Q14: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(9 x-8 y-3 z, \frac{y}{4}+7 z, z\right)
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 6. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(B) é maior do que o volume de Q.
(C) é menor do que o volume de Q.
(D) é igual ao volume de Q.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y,z)=\left(9x-8y-3z,\;\frac{y}{4}+7z,\;z\right).
Também é dado que Q\subset\mathbb{R}^{3} é um paralelepípedo com volume 6. A pergunta é: qual das alternativas (A), (B), (C) ou (D) descreve corretamente o volume de T(Q) em relação ao volume de Q?
Informações relevantes:
  • A transformação linear T está totalmente especificada.
  • O volume de Q vale 6.
  • Queremos comparar \operatorname{vol}(T(Q)) com \operatorname{vol}(Q).
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Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): para uma transformação linear T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{n} representada por uma matriz A na base padrão, o efeito de T sobre volumes é dado por
\operatorname{vol}(T(Q)) = \bigl|\det(A)\bigr| \,\operatorname{vol}(Q).
O que isso significa: o determinante de A mede quanto a transformação “espalha” ou “contrai” volumes. Se |\det(A)|>1, volumes aumentam; se |\det(A)|<1, volumes diminuem; se |\det(A)|=1, volumes são preservados (podem mudar orientação se \det(A)<0, mas o valor absoluto cuida disso).
Exemplo simples para intuição (2D): para a matriz \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&1\end{pmatrix} temos \det=2, então um retângulo de área A vira outro de área 2A — esticou na direção x e duplicou a área.

Passo 3

Vamos escrever a matriz A que representa T na base canônica. Pegamos as imagens dos vetores da base:
T(1,0,0)=(9,0,0),\qquad T(0,1,0)=(-8,\tfrac{1}{4},0),\qquad T(0,0,1)=(-3,7,1).
Portanto a matriz A (colunas = T(e_1),T(e_2),T(e_3)) é
A=\begin{pmatrix} 9 & -8 & -3\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{4} & 7\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo do determinante: a matriz A é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal são zero), então o determinante é o produto das entradas da diagonal. Assim
\det(A)=9\cdot \tfrac{1}{4}\cdot 1 = \tfrac{9}{4}.
Logo \bigl|\det(A)\bigr|=\tfrac{9}{4}. Pelo fato de \tfrac{9}{4}>1, a transformação aumenta volumes.
Aplicando a fórmula do Passo 2:
\operatorname{vol}(T(Q)) = \bigl|\det(A)\bigr|\,\operatorname{vol}(Q) = \tfrac{9}{4}\cdot 6 = \tfrac{54}{4} = \tfrac{27}{2}.
Então o volume de T(Q) é maior que o volume de Q.

Passo 5

Resumo objetivo e motivador: como \det(A)=\tfrac{9}{4}>1, T multiplica volumes por \tfrac{9}{4}, portanto o paralelepípedo T(Q) tem volume maior que o de Q. Vai dar certo na prova: identifique a matriz, calcule o determinante (triangular facilita), e compare |\det| com 1.

Resposta

(B)

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