Q17: Seja A uma matriz 2 \times 2 cujos autovalores são -7 e 8 associados, respectivamente, a \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
Defina M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right]. A inversa de A pode ser expressa como:
(A) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}7 & 0 \\\\ 0 & -8\end{array}\right] M^{-1}
(B) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{7} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{8}\end{array}\right] M^{-1}
(C) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}7 & 0 \\\\ 0 & -8\end{array}\right] M
(D) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-\frac{1}{7} & 0 \\\\ 0 & \frac{1}{8}\end{array}\right] M
(E) A^{-1}=M^{-1}\left[\begin{array}{rr}-7 & 0 \\\\ 0 & 8\end{array}\right] M
(F) A^{-1}=M\left[\begin{array}{rr}-7 & 0 \\\\ 0 & 8\end{array}\right] M^{-1}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que escolhamos a expressão correta para A^{-1}:
  • A é uma matriz 2\times2.
  • Os autovalores de A são -7 e 8, respectivamente associados aos vetores próprios \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}.
  • Definiu-se M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right] (matriz cujas colunas são os vetores próprios).
  • Quer-se expressar A^{-1} em termos de M e de uma matriz diagonal (escolhendo a alternativa correta entre (A)–(F)).

Passo 2

Entendimento básico sobre vetores próprios e diagonalização (passo-a-passo): quando \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} são autovetores de A com autovalores \lambda_{1} e \lambda_{2}, temos, por definição de autovalor/autovetor,
A\vec{v}_{1}=\lambda_{1}\vec{v}_{1},\qquad A\vec{v}_{2}=\lambda_{2}\vec{v}_{2}.
Escrever isso em forma matricial com M=\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\end{array}\right] leva à igualdade matricial
A M = M D,
onde D é a matriz diagonal com os autovalores:
D=\begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0\\[4pt]0 & \lambda_{2}\end{pmatrix}.
Isto é, cada coluna da igualdade AM é A\vec{v}_i, e cada coluna de MD é \lambda_i\vec{v}_i.]

Passo 3

Se \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2} forem linearmente independentes, então M é invertível. No caso de autovalores distintos (aqui -7 e 8), os autovetores correspondentes são linearmente independentes para uma matriz 2\times2. Assim M é invertível e, da igualdade A M = M D, multiplicando à direita por M^{-1} obtemos a fatoração
A = M D M^{-1}.
Essa fatoração chama-se diagonalização: A escrita como produto de M, uma diagonal D e M^{-1}.

Passo 4

Agora queremos A^{-1}. Se A = M D M^{-1} e M é invertível, podemos inverter ambos os lados. Usando a propriedade inversa de um produto (XYZ)^{-1}=Z^{-1}Y^{-1}X^{-1} ou verificando diretamente que M D^{-1} M^{-1} é inversa de M D M^{-1}, chegamos a
A^{-1} = (M D M^{-1})^{-1} = M D^{-1} M^{-1}.
(Verificação rápida: A\cdot (M D^{-1} M^{-1}) = M D M^{-1} M D^{-1} M^{-1} = M D D^{-1} M^{-1} = I.)

Passo 5

Agora calcule D e D^{-1} a partir dos autovalores dados. Como o enunciado deu os autovalores -7 e 8, temos
D=\begin{pmatrix}-7 & 0\\[4pt]0 & 8\end{pmatrix}.
A inversa de uma matriz diagonal é obtida invertendo cada entrada diagonal (desde que nenhuma seja zero). Portanto
D^{-1}=\begin{pmatrix}-\tfrac{1}{7} & 0\\[4pt]0 & \tfrac{1}{8}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Substituindo em A^{-1} = M D^{-1} M^{-1} obtemos a forma explícita
A^{-1} = M \begin{pmatrix}-\tfrac{1}{7} & 0\\[4pt]0 & \tfrac{1}{8}\end{pmatrix} M^{-1}.
Comparando com as alternativas fornecidas, essa expressão corresponde à alternativa (B).]

Resposta

(B)

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