Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(2-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(4-\lambda)
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(-2-\lambda)
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(2-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{2}
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(2-\lambda)^{3}(3-\lambda)(4-\lambda)
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{3}(-4-\lambda)(-2-\lambda)
(G) p_{c}^{4}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{2}
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{2}(5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}
Passo 1
O enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz A dada (8×8) e, como dica, explorar a estrutura em blocos. Informações relevantes extraídas do enunciado (peguei-os diretamente da matriz fornecida):
Observações estruturais importantes (não vou resolver ainda, só listar):
As entradas abaixo dos blocos principais são nulas conforme a partição por índices: linhas 1\!-\!3, 4\!-\!6, 7\!-\!8. Ou seja, A tem forma de matriz em blocos triangular superior:
com A_{11} de tamanho 3\times3, A_{22} de 3\times3 e A_{33} de 2\times2.
Pergunta final: qual é p_{c}^{A}(\lambda)=\det(A-\lambda I)?]
Passo 2
Teorema útil (explicação didática): para uma matriz em blocos triangular superior como acima, o determinante separa-se em produto dos determinantes dos blocos diagonais. Ou seja,
Por que isso vale? Porque se uma matriz tem a forma triangular em blocos (todos os blocos abaixo da diagonal principal são nulos), a expansão de Laplace (ou propriedade do determinante) mostra que as permutações que contribuem ao determinante não misturam blocos abaixo da diagonal, levando ao produto dos determinantes dos blocos diagonais. Logo podemos calcular o polinômio característico de cada bloco diagonal menor e multiplicá-los.
Passo 3
Extraio explicitamente os blocos diagonais da matriz A (peguei os coeficientes diretamente da matriz dada):