Q13: Calcule o polinômio característico da matriz A abaixo:
A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr} -3 & 0 & 0 & -5 & 3 & 3 & 5 & -5 \\\\ 6 & 3 & 1 & -1 & 6 & 3 & -3 & 5 \\\\ -1 & -36 & -9 & -6 & 1 & 1 & 5 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 4 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & -9 & 8 & 0 & -1 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 6 & 4 & -4 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -35 & -9 \end{array}\right]
Dica: explore a estrutura em blocos da matriz.
(A) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(2-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(4-\lambda)
(B) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{2}(2-\lambda)^{2}(3-\lambda)^{2}(4-\lambda)^{2}
(C) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(-2-\lambda)
(D) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(2-\lambda)^{3}(3-\lambda)^{2}
(E) p_{c}^{A}(\lambda)=(-5-\lambda)^{3}(2-\lambda)^{3}(3-\lambda)(4-\lambda)
(F) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{3}(-4-\lambda)(-2-\lambda)
(G) p_{c}^{4}(\lambda)=(-3-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{3}(-4-\lambda)^{2}
(H) p_{c}^{A}(\lambda)=(-3-\lambda)^{2}(5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(-2-\lambda)^{2}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o polinômio característico da matriz A dada (8×8) e, como dica, explorar a estrutura em blocos. Informações relevantes extraídas do enunciado (peguei-os diretamente da matriz fornecida):
A=\left[\begin{array}{rrrrrrrr} -3 & 0 & 0 & -5 & 3 & 3 & 5 & -5 \\\\ 6 & 3 & 1 & -1 & 6 & 3 & -3 & 5 \\\\ -1 & -36 & -9 & -6 & 1 & 1 & 5 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 & 4 & 6 \\\\ 0 & 0 & 0 & -9 & 8 & 0 & -1 & 7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 6 & 4 & -4 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -35 & -9 \end{array}\right]
Observações estruturais importantes (não vou resolver ainda, só listar):
  • As entradas abaixo dos blocos principais são nulas conforme a partição por índices: linhas 1\!-\!3, 4\!-\!6, 7\!-\!8. Ou seja, A tem forma de matriz em blocos triangular superior:
A=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13}\\[2pt] 0 & A_{22} & A_{23}\\[2pt] 0 & 0 & A_{33} \end{pmatrix},
com A_{11} de tamanho 3\times3, A_{22} de 3\times3 e A_{33} de 2\times2.
  • Pergunta final: qual é p_{c}^{A}(\lambda)=\det(A-\lambda I)?]

Passo 2

Teorema útil (explicação didática): para uma matriz em blocos triangular superior como acima, o determinante separa-se em produto dos determinantes dos blocos diagonais. Ou seja,
\det(A-\lambda I)=\det(A_{11}-\lambda I_{3})\cdot\det(A_{22}-\lambda I_{3})\cdot\det(A_{33}-\lambda I_{2}).
Por que isso vale? Porque se uma matriz tem a forma triangular em blocos (todos os blocos abaixo da diagonal principal são nulos), a expansão de Laplace (ou propriedade do determinante) mostra que as permutações que contribuem ao determinante não misturam blocos abaixo da diagonal, levando ao produto dos determinantes dos blocos diagonais. Logo podemos calcular o polinômio característico de cada bloco diagonal menor e multiplicá-los.

Passo 3

Extraio explicitamente os blocos diagonais da matriz A (peguei os coeficientes diretamente da matriz dada):
A_{11}=\begin{pmatrix}-3 & 0 & 0\\[2pt]6 & 3 & 1\\[2pt]-1 & -36 & -9\end{pmatrix},\qquad A_{22}=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0\\[2pt]-9 & 8 & 0\\[2pt]6 & 4 & -4\end{pmatrix},\qquad A_{33}=\begin{pmatrix}3 & 1\\[2pt]-35 & -9\end{pmatrix}.
Vai ser mais fácil calcular \det(A_{11}-\lambda I_{3}), \det(A_{22}-\lambda I_{3}) e \det(A_{33}-\lambda I_{2}) separadamente e depois multiplicar.]

Passo 4

Calculo de \det(A_{11}-\lambda I_{3}). Primeiro escrevo A_{11}-\lambda I_{3}:
A_{11}-\lambda I_{3}=\begin{pmatrix}-3-\lambda & 0 & 0\\[2pt]6 & 3-\lambda & 1\\[2pt]-1 & -36 & -9-\lambda\end{pmatrix}.
Observação prática: a primeira linha tem zeros nas colunas 2 e 3, então expandir pelo menor de ordem 1 é trivial. O determinante fica:
\det(A_{11}-\lambda I_{3}) = (-3-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 1\\[2pt]-36 & -9-\lambda\end{pmatrix}.
Agora calculo o determinante 2×2:
\det\begin{pmatrix}3-\lambda & 1\\[2pt]-36 & -9-\lambda\end{pmatrix}=(3-\lambda)(-9-\lambda)-1\cdot(-36).
Faço as contas com calma:
(3-\lambda)(-9-\lambda) = -27 +6\lambda +\lambda^{2},
então somando +36 vem
-27 +6\lambda +\lambda^{2} +36 = \lambda^{2}+6\lambda+9 = (\lambda+3)^{2}.
Portanto
\det(A_{11}-\lambda I_{3}) = (-3-\lambda)\,(\lambda+3)^{2}.
Observação sobre o sinal: -3-\lambda = -( \lambda+3), então podemos também escrever
\det(A_{11}-\lambda I_{3}) = -(\lambda+3)^{3}.]

Passo 5

Calculo de \det(A_{22}-\lambda I_{3}). Escrevo o bloco:
A_{22}-\lambda I_{3}=\begin{pmatrix}2-\lambda & 1 & 0\\[2pt]-9 & 8-\lambda & 0\\[2pt]6 & 4 & -4-\lambda\end{pmatrix}.
Aqui a coluna 3 tem zeros nas duas primeiras entradas, o que facilita expandir por essa coluna. A expansão dá:
\det(A_{22}-\lambda I_{3}) = (-4-\lambda)\cdot\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 1\\[2pt]-9 & 8-\lambda\end{pmatrix}.
Calculo o 2×2:
(2-\lambda)(8-\lambda)-1\cdot(-9) = (16 -10\lambda +\lambda^{2}) +9 = \lambda^{2}-10\lambda+25.
Reconheço que \lambda^{2}-10\lambda+25=(\lambda-5)^{2}. Assim
\det(A_{22}-\lambda I_{3}) = (-4-\lambda)\,(\lambda-5)^{2}.
Novamente, -4-\lambda = -(\lambda+4), então também posso escrever
\det(A_{22}-\lambda I_{3}) = -(\lambda+4)\,(\lambda-5)^{2}.]

Passo 6

Calculo de \det(A_{33}-\lambda I_{2}). Escrevo o bloco:
A_{33}-\lambda I_{2}=\begin{pmatrix}3-\lambda & 1\\[2pt]-35 & -9-\lambda\end{pmatrix}.
Determinante 2×2:
\det(A_{33}-\lambda I_{2})=(3-\lambda)(-9-\lambda)-1\cdot(-35).
Faço as contas:
(3-\lambda)(-9-\lambda) = -27 +6\lambda +\lambda^{2},
somando +35
-27 +6\lambda +\lambda^{2} +35 = \lambda^{2}+6\lambda+8 = (\lambda+2)(\lambda+4).
Portanto
\det(A_{33}-\lambda I_{2})=(\lambda+2)(\lambda+4).]

Passo 7

Multiplico os três determinantes obtidos (pela propriedade do Passo 2):
\det(A-\lambda I)=\det(A_{11}-\lambda I_{3})\cdot\det(A_{22}-\lambda I_{3})\cdot\det(A_{33}-\lambda I_{2}).
Substituindo os resultados:
\det(A-\lambda I)=\big[-(\lambda+3)^{3}\big]\cdot\big[-(\lambda+4)(\lambda-5)^{2}\big]\cdot\big[(\lambda+2)(\lambda+4)\big].
Tratando os sinais: os dois sinais negativos multiplicam-se e viram +1. Reagrupando fatores iguais ( (\lambda+4) aparece duas vezes):
\det(A-\lambda I)=(\lambda+3)^{3}\,(\lambda+4)^{2}\,(\lambda-5)^{2}\,(\lambda+2).
Se quisermos escrever os fatores no estilo das alternativas (usando termos da forma -3-\lambda, 5-\lambda, etc.), note que
(-3-\lambda)^{3} = -(\lambda+3)^{3},\quad (-4-\lambda)^{2}=(\lambda+4)^{2},\quad (5-\lambda)^{2}=(\lambda-5)^{2},\quad (-2-\lambda)=-(\lambda+2).
Ao recolocar esses sinais no produto total, os sinais negativos pares se cancelam e obtemos exatamente a forma equivalente
(-3-\lambda)^{3}(5-\lambda)^{2}(-4-\lambda)^{2}(-2-\lambda),
que é algebraicamente igual ao polinômio encontrado acima.

Resposta

(C)

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