Q15: Seja
uma matriz simétrica
e
a forma quadrática associada. Se o espectro de
é
, podemos afirmar que:
(A)
para todo
.
(B) existem
e
tais que
.
(C)
para todo
.
(D)
para todo
e existe
com
.
(E)
para todo
e existe
com $f(\vec{w})=0.
(A)
(B) existem
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá que
é uma matriz simétrica
e define a forma quadrática
. Também informa o espectro de
como
. A pergunta é: qual das alternativas (A)–(E) é verdadeira?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
• é simétrica e tem dimensão
.
• Os valores próprios (autovalores) presentes são ,
e
. (O enunciado mostrou o conjunto dos autovalores; suas multiplicidades podem ser maiores, mas
não aparece no espectro fornecido.)
• A forma quadrática é .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
•
• Os valores próprios (autovalores) presentes são
• A forma quadrática é
Passo 2
Teoria útil (explicação didática do que vamos usar): a Teoria Espectral para matrizes simétricas. Vou explicar devagarinho.
Uma matriz simétrica tem um conjunto ortonormal de autovetores que forma uma base de
. Isso significa que existe uma matriz ortogonal
(colunas são autovetores ortonormais) e uma matriz diagonal
contendo os autovalores, tais que
Uma matriz simétrica
Aqui
ortogonal significa
. A matriz
é diagonal com entradas
, os autovalores de
. Essa factorização simplifica muito a forma quadrática — é o truque padrão: diagonalizar por uma mudança de base ortonormal.
Passo 3
Aplicando essa diagonalização à forma quadrática: seja
arbitrário e defina
. Como
é ortogonal, essa é apenas uma mudança de coordenadas ortonormal (rotação/reflexão). Então
Como
é diagonal com entradas
, escrevemos
Interpretação: cada coordenada
(projeção de
num autovetor) contribui com
. O sinal de
decide se essa contribuição é positiva, negativa ou nula. Isso é a chave para avaliar se
é sempre positiva, sempre negativa, semidefinida, etc.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: o espectro contém
(positivo) e também
e
(negativos). Não importa a multiplicidade exata: sabemos com certeza que existe pelo menos um autovetor
associado a
e pelo menos um autovetor
associado a
(ou a
).
- Se tomarmos
(um autovetor correspondente a ), então tem uma coordenada apenas na posição correspondente a esse autovalor e nas demais coordenadas . Assim
Logo existe
com
.
- Se tomarmos
(autovetor correspondente a ), pelo mesmo raciocínio
Logo existe
com
.
Portanto existem vetores
e
tais que
. Isso prova que a forma quadrática é indefinida (tem valores positivos e negativos).
Observação pedagógica sobre as outras alternativas:
• Não pode ser para todo
(alternativa (A)), porque já encontramos
com
.
• Nem pode ser para todo
(alternativa (C)), porque já encontramos
com
.
• As alternativas (D) e (E) afirmam semidefinitude (todas as imagens ou
) mais existência de um vetor não-nulo que zera a forma. Essas não podem ser verdadeiras porque já existem valores estritamente positivos e estritamente negativos; portanto a forma não é semidefinida. Note também que o espectro informado não contém
, mas atenção: a ausência de autovalor zero não impede que exista vetor não-nulo com
por cancelamento entre contribuições de sinais opostos (por exemplo, com autovalores
e
pode ocorrer soma zero com um vetor apropriado). Porém isso não salva (D) nem (E), porque elas exigem a desigualdade global para todo
, o que já foi refutado pelo par de vetores que encontramos.
• Não pode ser
• Nem pode ser
• As alternativas (D) e (E) afirmam semidefinitude (todas as imagens
Passo 5
Conclusão final do raciocínio: existe ao mesmo tempo um autovalor positivo (
) e autovalores negativos (
), então a forma quadrática assume valores positivos e negativos. Logo a afirmação verdadeira é a que diz que existem
e
tais que
.
Resposta
(B)