Q13: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se R é uma reflexão em torno de uma reta do \mathbb{R}^{3}, então \operatorname{det}(R+I) \neq 0.
II - Se T é uma projeção ortogonal em um plano do \mathbb{R}^{3}, então \operatorname{det}(T+3 I)=0.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado trabalha com transformações lineares em \mathbb{R}^3 e pede para avaliar determinantes de somas dessas transformações com múltiplos da identidade. Vamos usar a propriedade de que o determinante de uma matriz é o produto de seus autovalores (contados com multiplicidade).

Passo 2

Analisando a afirmativa I: se R é reflexão em torno de uma reta, então os vetores ao longo da reta são fixos (autovalor 1) e os vetores no plano ortogonal mudam de sinal (autovalor -1, com multiplicidade 2). Logo os autovalores de R são
1,\;-1,\;-1.
Assim, os autovalores de R+I são
1+1=2,\quad -1+1=0,\quad -1+1=0,
e
\det(R+I)=2\cdot0\cdot0=0.
Portanto \det(R+I)=0, contrariando “ \det(R+I)\neq0”. Afirmativa I é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: se T é projeção ortogonal em um plano, então os vetores no plano têm autovalor 1 (multiplicidade 2) e o vetor perpendicular tem autovalor 0. Logo os autovalores de T são
1,\;1,\;0.
Assim, os autovalores de T+3I são
1+3=4,\;1+3=4,\;0+3=3,
e
\det(T+3I)=4\cdot4\cdot3=48\neq0.
Logo \det(T+3I)\neq0, fazendo a afirmativa II também falsa.

Passo 4

Como I e II são falsas, a resposta correta é a letra (A).

Resposta

(A) Todas são falsas.

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