Q13: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é uma reflexão em torno de uma reta do
, então
.
II - Se
é uma projeção ortogonal em um plano do
, então
.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado trabalha com transformações lineares em
e pede para avaliar determinantes de somas dessas transformações com múltiplos da identidade. Vamos usar a propriedade de que o determinante de uma matriz é o produto de seus autovalores (contados com multiplicidade).
Passo 2
Analisando a afirmativa I: se
é reflexão em torno de uma reta, então os vetores ao longo da reta são fixos (autovalor
) e os vetores no plano ortogonal mudam de sinal (autovalor
, com multiplicidade 2). Logo os autovalores de
são
Assim, os autovalores de
são
e
Portanto
, contrariando “
”. Afirmativa I é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: se
é projeção ortogonal em um plano, então os vetores no plano têm autovalor
(multiplicidade 2) e o vetor perpendicular tem autovalor
. Logo os autovalores de
são
Assim, os autovalores de
são
e
Logo
, fazendo a afirmativa II também falsa.
Passo 4
Como I e II são falsas, a resposta correta é a letra (A).
Resposta
(A) Todas são falsas.