Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 16 e 24 respectivamente, então
é diagonalizável.
II - Se
possui como polinômio característico
e autovalor -2 com multiplicidade geométrica 19, então
não é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
I - Se
II - Se
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado dá duas afirmações sobre a diagonalizabilidade de operadores lineares
e
. Vamos usar o teorema que relaciona multiplicidades algébricas e geométricas de autovalores com a existência de base de autovetores para decidir se cada operador é diagonalizável.
Passo 2
O teorema diz que um operador em espaço de dimensão
é diagonalizável se, e somente se, para cada autovalor a multiplicidade geométrica iguala a multiplicidade algébrica, e a soma das multiplicidades algébricas é
. No caso de
, só conhecemos as multiplicidades geométricas, que são
e
. A soma delas é
ou seja, não chega a
, então necessariamente algumas multiplicidades geométricas são menores que as algébricas e faltam autovetores para formar uma base. Logo,
não é diagonalizável, e a afirmação I é falsa.
Passo 3
Para
, o polinômio característico é
portanto cada autovalor tem multiplicidade algébrica
. Como o autovalor
tem multiplicidade geométrica
, falta autovetores para completar a base, e
não é diagonalizável. Assim, a afirmação II é verdadeira.
Passo 4
Concluímos que apenas II é verdadeira, o que corresponde à alternativa (C).
Resposta
(C)