Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - Se Q: \mathbb{R}^{44} \rightarrow \mathbb{R}^{44} possui 2 autovalores reais distintos com multiplicidade geométrica 16 e 24 respectivamente, então Q é diagonalizável.
II - Se S: \mathbb{R}^{54} \rightarrow \mathbb{R}^{54} possui como polinômio característico p_{c}^{S}(x)=(x+2)^{27}(x-2)^{27} e autovalor -2 com multiplicidade geométrica 19, então S não é diagonalizável.
(A) Todas são falsas.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá duas afirmações sobre a diagonalizabilidade de operadores lineares Q\colon\mathbb{R}^{44}\to\mathbb{R}^{44} e S\colon\mathbb{R}^{54}\to\mathbb{R}^{54}. Vamos usar o teorema que relaciona multiplicidades algébricas e geométricas de autovalores com a existência de base de autovetores para decidir se cada operador é diagonalizável.

Passo 2

O teorema diz que um operador em espaço de dimensão n é diagonalizável se, e somente se, para cada autovalor a multiplicidade geométrica iguala a multiplicidade algébrica, e a soma das multiplicidades algébricas é n. No caso de Q, só conhecemos as multiplicidades geométricas, que são 16 e 24. A soma delas é
16 + 24 = 40 < 44,
ou seja, não chega a 44, então necessariamente algumas multiplicidades geométricas são menores que as algébricas e faltam autovetores para formar uma base. Logo, Q não é diagonalizável, e a afirmação I é falsa.

Passo 3

Para S, o polinômio característico é
p_{c}^{S}(x) = (x + 2)^{27}\,(x - 2)^{27},
portanto cada autovalor tem multiplicidade algébrica 27. Como o autovalor -2 tem multiplicidade geométrica 19 < 27, falta autovetores para completar a base, e S não é diagonalizável. Assim, a afirmação II é verdadeira.

Passo 4

Concluímos que apenas II é verdadeira, o que corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C)

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