Q12: A matriz R abaixo representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem, em \mathbb{R}^{3} :
R=\frac{1}{45}\left[\begin{array}{rrr} 5 & -8 & -44 \\\\ 40 & -19 & 8 \\\\ -20 & -40 & 5 \end{array}\right]
Qual é o cosseno do ângulo de rotação?
Dica: Determine eixo de rotação, uma direção ortogonal ao eixo e determine o ângulo que este vetor é rodado.
(A) \frac{1}{2}
(B) \frac{3}{4}
(C) -\frac{4}{5}
(D) -\frac{3}{5}
(E) \frac{4}{5}
(F) -\frac{1}{2}
(G) \frac{3}{5}
(H) -\frac{3}{4}
(I) Não sei

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz R\in\mathbb{R}^{3\times3} que representa uma rotação em torno de um eixo passando pela origem e pede o cosseno do ângulo \theta.
Para isso, usamos a propriedade de matrizes de rotação em \mathbb{R}^3:
\mathrm{tr}(R)=1+2\cos\theta.

Passo 2

Calcular o traço de R, isto é, a soma dos elementos da diagonal principal:
\mathrm{tr}(R)=\frac{5+(-19)+5}{45}=\frac{-9}{45}=-\frac{1}{5}.

Passo 3

Igualar ao modelo da rotação:
-\frac{1}{5}=1+2\cos\theta.

Passo 4

Isolar \cos\theta:
2\cos\theta=-\frac{1}{5}-1=-\frac{6}{5}, \quad \cos\theta=-\frac{6}{5}\times\frac{1}{2}=-\frac{3}{5}.

Passo 5

Entre as alternativas, -\frac{3}{5} corresponde à letra (D).

Resposta

(D) -\frac{3}{5}

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