Q13:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Em
, um conjunto com 15 vetores não pode ser LD.
II - Em
, um conjunto com 51 vetores é necessariamente
LD.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
I - Em
II - Em
LD.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado traz duas afirmações sobre dependência linear em espaços
. Lembrando o teorema de dimensão: num espaço de dimensão
, qualquer conjunto com mais de
vetores é necessariamente linearmente dependente, enquanto um conjunto com até
vetores pode ser independente, mas não é obrigado a sê-lo.
Passo 2
Analisando I: “Em
, um conjunto com 15 vetores não pode ser LD.” Como
, um conjunto com 15 vetores pode ser LI, mas nada impede que você escolha vetores repetidos ou um vetor nulo e caia em dependência linear. Logo, não é verdade que todo conjunto de 15 vetores em
seja necessariamente independente. Assim, I é falsa.
Passo 3
Analisando II: “Em
, um conjunto com 51 vetores é necessariamente LD.” Como
, pelo teorema de dimensão, qualquer conjunto com mais de 46 vetores em
é forçosamente linearmente dependente. Logo, II é verdadeira.
Passo 4
Concluindo, apenas a afirmação II é verdadeira.
Resposta
(D) Apenas II é verdadeira.