Q13:

Considere as afirmativas abaixo:
I - Em \mathbb{R}^{23}, um conjunto com 15 vetores não pode ser LD.
II - Em \mathbb{R}^{46}, um conjunto com 51 vetores é necessariamente
LD.
(A) Apenas I é verdadeira.
(B) Todas são falsas.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado traz duas afirmações sobre dependência linear em espaços \mathbb{R}^n. Lembrando o teorema de dimensão: num espaço de dimensão n, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente linearmente dependente, enquanto um conjunto com até n vetores pode ser independente, mas não é obrigado a sê-lo.

Passo 2

Analisando I: “Em \mathbb{R}^{23}, um conjunto com 15 vetores não pode ser LD.” Como 15<23, um conjunto com 15 vetores pode ser LI, mas nada impede que você escolha vetores repetidos ou um vetor nulo e caia em dependência linear. Logo, não é verdade que todo conjunto de 15 vetores em \mathbb{R}^{23} seja necessariamente independente. Assim, I é falsa.

Passo 3

Analisando II: “Em \mathbb{R}^{46}, um conjunto com 51 vetores é necessariamente LD.” Como 51>46, pelo teorema de dimensão, qualquer conjunto com mais de 46 vetores em \mathbb{R}^{46} é forçosamente linearmente dependente. Logo, II é verdadeira.

Passo 4

Concluindo, apenas a afirmação II é verdadeira.

Resposta

(D) Apenas II é verdadeira.

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