Q10: Seja \theta o ângulo entre (-2,-1,1,3) e (2,3,-2,-2), vetores do \mathbb{R}^{4}. Assinale o valor de \cos \theta.
(A) \frac{\sqrt{42}}{7}
(B) \frac{\sqrt{35}}{7}
(C) -\frac{\sqrt{35}}{7}
(D) -\frac{\sqrt{42}}{7}
(E) Não sei
Q11: Encontre a solução, no sentido dos mínimos quadrados, do sistema linear Q \vec{x}=\vec{b}, representado abaixo por sua matriz aumentada:

Passo 1

O item Q10 pede para calcular \cos\theta, onde \theta é o ângulo entre os vetores
v = (-2,-1,1,3)
e
w = (2,3,-2,-2)
no espaço \mathbb{R}^4. Vamos usar a definição
\cos\theta = \frac{v\cdot w}{\|v\|\;\|w\|}.

Passo 2

Calcular o produto escalar
v\cdot w = (-2)\cdot2 + (-1)\cdot3 + 1\cdot(-2) + 3\cdot(-2) = -4 -3 -2 -6 = -15.

Passo 3

Calcular as normas:
\|v\| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+1+9} = \sqrt{15},
\|w\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+9+4+4} = \sqrt{21}.
Logo,
\cos\theta = \frac{-15}{\sqrt{15}\,\sqrt{21}} = -\frac{15}{\sqrt{315}}.

Passo 4

Simplificar \sqrt{315} = \sqrt{9\cdot35}=3\sqrt{35}, portanto
\cos\theta = -\frac{15}{3\sqrt{35}} = -\frac{5}{\sqrt{35}} = -\frac{5\sqrt{35}}{35} = -\frac{\sqrt{35}}{7}.
Isso corresponde à alternativa (C).

Passo 5

No item Q11, seria preciso a matriz aumentada completa de Q e \vec b para montar o sistema normal e obter a solução de mínimos quadrados. Como esses dados não foram fornecidos, não é possível resolver a questão.

Resposta

Q10: (C) -\tfrac{\sqrt{35}}{7}
Q11: Não é possível resolver porque a matriz aumentada não foi fornecida.

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