Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
1
-29.5
-2
-2
-21.7
-1
-3
-14.5
0
4
22.4
1
1
3.5
2
-4
-32.3
3
-2
-42.3
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(7,8). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) -165.0
(B) -164.0
(C) -163.0
(D) -162.0
(E) -161.0
(F) -160.0
(G) -159.0
(H) -158.0
Passo 1
O enunciado pede que, a partir de 7 medições da grandeza Z em diferentes (x,y), ajustemos os parâmetros a, b e c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c
pelo critério dos mínimos quadrados (ou seja, minimizar a soma dos quadrados dos desvios entre o modelo e os dados) e, em seguida, usemos o modelo ajustado para prever Z em (x,y)=(7,8).
Dados fornecidos (extraídos da tabela do enunciado):
pontos (x,y,Z):
(-3,\,1,\,-29{,}5)
(-2,\,-2,\,-21{,}7)
(-1,\,-3,\,-14{,}5)
(0,\,4,\,22{,}4)
(1,\,1,\,3{,}5)
(2,\,-4,\,-32{,}3)
(3,\,-2,\,-42{,}3)
O que se pede, portanto:
Ajustar a,b,c pelo método dos mínimos quadrados.
Calcular a previsão \hat{Z} do modelo ajustado em (x,y)=(7,8).
Escolher a melhor aproximação entre as alternativas listadas.
Passo 2
Transformação e ideia do método (aula rápida e concreta).
Note que o modelo é linear nos parâmetros a,b,c se definirmos a variável auxiliaru = x^{2}.Então o modelo fica linear:Z = a\,u + b\,y + c.
Para um modelo linear em parâmetros, o ajuste pelo método dos mínimos quadrados consiste em montar a matriz de projeto X (cada linha é [u_i,\; y_i,\; 1]) e o vetor de observações Z, e resolver as equações normaisX^{T}X\,\beta = X^{T}Z,onde \beta = \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix}.
Explicando passo a passo: X^{T}X contém somas como \sum u_i^2,\\ \sum u_i y_i,\\ \sum u_i,\\ \sum y_i^2,\\ \sum y_i,\\ n. O vetor X^{T}Z contém \sum u_i Z_i,\\ \sum y_i Z_i,\\ \sum Z_i.
Vou computar essas somas explicitamente a partir dos dados.]
Passo 3
Calcular as variáveis u=x^2 e as somas necessárias (tirei os valores diretamente da tabela):
Agora as somas (todas as somas foram calculadas a partir dos 7 pontos):\begin{aligned} &\sum u = 28,\\[4pt] &\sum y = -5,\\[4pt] &\sum Z = -114{,}4,\\[4pt] &\sum u^{2} = 196,\\[4pt] &\sum y^{2} = 51,\\[4pt] &\sum u y = -35,\\[4pt] &\sum u Z = -873{,}2,\\[4pt] &\sum y Z = 364{,}3,\\[4pt] &n=7. \end{aligned}
Com isso a matriz X^{T}X e o vetor X^{T}Z são:X^{T}X= \begin{pmatrix} \sum u^{2} & \sum u y & \sum u \\[4pt] \sum u y & \sum y^{2} & \sum y \\[4pt] \sum u & \sum y & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & -35 & 28 \\[4pt] -35 & 51 & -5 \\[4pt] 28 & -5 & 7 \end{pmatrix},
X^{T}Z = \begin{pmatrix} \sum u Z \\[4pt] \sum y Z \\[4pt] \sum Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -873{,}2 \\[4pt] 364{,}3 \\[4pt] -114{,}4 \end{pmatrix}.
Temos, portanto, o sistema linear para os parâmetros:\begin{pmatrix} 196 & -35 & 28 \\\\ -35 & 51 & -5 \\\\ 28 & -5 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\\ b\\\ c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -873{,}2\\\\ 364{,}3\\\\ -114{,}4\end{pmatrix}.]
Passo 4
Resolver as equações normais (eliminação/álgebra linear) — explicando cada passo de forma concreta.
Faço operação de eliminação para triangular a matriz (mostro resultados exatos em frações quando conveniente).
Eliminando a da segunda linha com o fator f=\dfrac{35}{196}=\dfrac{5}{28} e da terceira linha com 1/7, obtém-se as equações reduzidas (mostrando os resultados):
Da eliminação surge a equação simples para b:\frac{179}{4}\,b = \frac{7293}{35},de ondeb = \frac{29172}{6265}\approx 4{,}656792\ldots(a fração é o valor exato obtido no cálculo).
A eliminação do termo a na terceira linha dá diretamente:3\,c = \frac{362}{35},entãoc = \frac{362}{105}\approx 3{,}4476190476.
Com b e c conhecidos, calculamos a (por exemplo usando a terceira equação original 28a-5b+7c=-114{,}4):a = \frac{-114{,}4 + 5b - 7c}{28}.Substituindo os valores exatos em fração obtidos:a = -\frac{1\,083\,077}{263\,130}\approx -4{,}116149\ldots
Resumo dos parâmetros ajustados (valores com boa precisão decimal):a \approx -4{,}116149,\qquad b \approx 4{,}656792,\qquad c \approx 3{,}447619.(Mostrei as frações exatas no cálculo; acima estão os valores decimais para uso prático.)
Passo 5
Previsão em (x,y)=(7,8):
Primeiro calcule u = x^{2} = 7^{2} = 49.
A previsão do modelo é\hat{Z} = a\,u + b\,y + c = a\cdot 49 + b\cdot 8 + c.
Substituindo os valores exatos (ou os decimais obtidos) obtém-se, com cálculo racional exato feito acima:\hat{Z} = -\frac{42\,361\,809}{263\,130} \approx -160{,}991936\ldotsEm aproximação decimal \hat{Z}\approx -160{,}992.
Passo 6
Escolha da opção mais próxima:
As alternativas oferecidas são valores inteiros (com uma casa decimal). Nosso valor calculado \hat{Z}\approx -160{,}992 está muito próximo de -161{,}0.
Portanto a melhor aproximação entre as opções é -161{,}0, que corresponde à alternativa (E).