e o vetor \vec{v}=(-13,-1,16,-12,-6).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{1} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)
Passo 1
O enunciado nos dá:
Uma base ortogonal \beta=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\} de \mathbb{R}^{5} (os vetores estão listados; aqui só preciso do primeiro para calcular x_{1}):b_{1}=\begin{pmatrix}8\\[2pt]7\\[2pt]1\\[2pt]5\\[2pt]8\end{pmatrix}.
O vetor\vec{v}=\begin{pmatrix}-13\\[2pt]-1\\[2pt]16\\[2pt]-12\\[2pt]-6\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar a primeira coordenada x_{1} de \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}, ou seja, o coeficiente de b_{1} quando escrevemos \vec{v} na base \beta.]
Passo 2
Fato importante (explicação didática e demonstração curta): quando \beta é uma base ortogonal, os vetores satisfazem b_{i}\cdot b_{j}=0 para i\neq j. Se escrevermos
\vec{v}=\sum_{i=1}^{5} x_{i} b_{i},
podemos fazer produto escalar com b_{1} em ambos os lados:
(Isto é a projeção de \vec{v} sobre b_{1} dividida pelo quadrado da norma de b_{1}.)
Passo 3
Vamos calcular o numerador \vec{v}\cdot b_{1}. Lembrando que o produto escalar em \mathbb{R}^{5} é a soma dos produtos das componentes correspondentes. Assim: