Q16: Considere a base ORTOGONAL de \mathbb{R}^{5}
\beta=\left\{\left[\begin{array}{l} 8 \\\\ 7 \\\\ 1 \\\\ 5 \\\\ 8 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -3 \\\\ 1 \\\\ -4 \\\\ 9 \\\\ -3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -4 \\\\ 4 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ -1 \\\\ -4 \\\\ -1 \\\\ 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -2 \\\\ -3 \\\\ 3 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{array}\right]\right\}
e o vetor
\vec{v}=(-13,-1,16,-12,-6).
Seja \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta} o vetor de coordenadas de \vec{v} com relação à base \beta. Calcule a entrada x_{1} do vetor \vec{x}. (Dica: não é necessário resolver um sistema linear!)

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma base ortogonal \beta=\{b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5}\} de \mathbb{R}^{5} (os vetores estão listados; aqui só preciso do primeiro para calcular x_{1}): b_{1}=\begin{pmatrix}8\\[2pt]7\\[2pt]1\\[2pt]5\\[2pt]8\end{pmatrix}.
  • O vetor \vec{v}=\begin{pmatrix}-13\\[2pt]-1\\[2pt]16\\[2pt]-12\\[2pt]-6\end{pmatrix}.
O que se pede: encontrar a primeira coordenada x_{1} de \vec{x}=[\vec{v}]_{\beta}, ou seja, o coeficiente de b_{1} quando escrevemos \vec{v} na base \beta.]

Passo 2

Fato importante (explicação didática e demonstração curta): quando \beta é uma base ortogonal, os vetores satisfazem b_{i}\cdot b_{j}=0 para i\neq j. Se escrevermos
\vec{v}=\sum_{i=1}^{5} x_{i} b_{i},
podemos fazer produto escalar com b_{1} em ambos os lados:
\vec{v}\cdot b_{1}=\sum_{i=1}^{5} x_{i}\,(b_{i}\cdot b_{1}).
Como b_{i}\cdot b_{1}=0 para i\neq1, sobra apenas o termo i=1:
\vec{v}\cdot b_{1}=x_{1}\,(b_{1}\cdot b_{1}).
Logo, a fórmula para a coordenada x_{1} é
x_{1}=\dfrac{\vec{v}\cdot b_{1}}{b_{1}\cdot b_{1}}.
(Isto é a projeção de \vec{v} sobre b_{1} dividida pelo quadrado da norma de b_{1}.)

Passo 3

Vamos calcular o numerador \vec{v}\cdot b_{1}. Lembrando que o produto escalar em \mathbb{R}^{5} é a soma dos produtos das componentes correspondentes. Assim:
\vec{v}\cdot b_{1}=(-13)\cdot 8 + (-1)\cdot 7 + 16\cdot 1 + (-12)\cdot 5 + (-6)\cdot 8.
Calcule passo a passo:
(-13)\cdot 8 = -104,
(-1)\cdot 7 = -7,
16\cdot 1 = 16,
(-12)\cdot 5 = -60,
(-6)\cdot 8 = -48.
Somando:
\vec{v}\cdot b_{1} = -104 -7 +16 -60 -48.
Agora agrupar e somar:
-104 -7 = -111,\qquad -111 +16 = -95,\qquad -95 -60 = -155,\qquad -155 -48 = -203.
Portanto
\vec{v}\cdot b_{1} = -203.

Passo 4

Agora o denominador b_{1}\cdot b_{1} (que é \|b_{1}\|^{2}). Calcule:
b_{1}\cdot b_{1}=8^{2}+7^{2}+1^{2}+5^{2}+8^{2}.
Isso dá
64+49+1+25+64.
Somando:
64+49=113,\qquad 113+1=114,\qquad 114+25=139,\qquad 139+64=203.
Portanto
b_{1}\cdot b_{1}=203.

Passo 5

Usando a fórmula do Passo 2:
x_{1}=\dfrac{\vec{v}\cdot b_{1}}{b_{1}\cdot b_{1}}=\dfrac{-203}{203}=-1.

Resposta

-1

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