Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto solução do sistema
, onde
é subespaço vetorial.
II. O complemento ortogonal de span
LD, não é subespaço vetorial.
III.
é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I. O conjunto solução do sistema
II. O complemento ortogonal de span
III.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três afirmativas e pede para identificar quais são verdadeiras ou falsas:
I. O conjunto solução do sistema
, onde
, é subespaço vetorial.
II. O complemento ortogonal de
, com
linearmente dependente, não é subespaço vetorial.
III.
é subespaço vetorial.
As opções são as alternativas de (A) a (H). O objetivo é decidir a veracidade de I, II e III e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Lembrete prático: o que significa ser um subespaço vetorial de
? Uma parte
é subespaço se e somente se:
-
contém o vetor nulo . -
é fechada sob soma: se então . -
é fechada sob multiplicação por escalares: se e então .
Dica rápida: para ver se um conjunto NÃO é subespaço muitas vezes basta verificar que o vetor nulo não pertence. Se o nulo pertence, aí sim testamos as demais propriedades.
Passo 3
Análise da afirmativa I.
Teoria usada (explicada passo a passo): o conjunto solução de
(quando existe solução) é da forma
onde
é uma solução particular e
é o espaço de soluções do sistema homogêneo. Isso significa: qualquer solução pode ser escrita como
com
.
Por que isso mostra que, em geral, não é subespaço quando
? Se o conjunto solução fosse um subespaço, deveria conter
. Mas
satisfaz
, então
é solução somente se
. Portanto, quando
o conjunto solução não contém
e logo não é subespaço.
Exemplo concreto e curtinho para fixar: a equação
em
tem conjunto solução
. Esse conjunto não contém
, logo não é subespaço.
Conclusão: a afirmativa I é falsa.
Passo 4
Análise da afirmativa II.
Definição e propriedades (passo a passo): dado um subconjunto
, o complemento ortogonal é
onde
é o produto interno usual (produto escalar).
Mostraremos que
é sempre um subespaço:
- O vetor nulo pertence:
para todo , logo . - Fechamento por soma: se
então para todo
portanto
.
- Fechamento por escalares: se
e então
logo
.
Esses cálculos valem para qualquer
, independentemente de
ser gerado por vetores LD ou LI. No caso concreto de
, mesmo que
seja linearmente dependente (então o span tem dimensão
ou
), o conjunto
continua a ser subespaço por exatamente essas propriedades.
Conclusão: a afirmativa II, que diz que o complemento ortogonal nesse caso “não é subespaço vetorial”, é falsa.
Passo 5
Análise da afirmativa III.
O conjunto dado é
Testamos a condição necessária: conter o vetor nulo
. Substituindo
na condição obteríamos
, então o vetor
não satisfaz
porque exigiria
. Portanto
. Como não contém o vetor nulo,
não pode ser subespaço vetorial.
Outro modo de ver (intuitivo): a equação
é uma equação afim (há uma constante
). Subespaços correspondem a equações homogêneas (sem termos constantes). A presença do
desloca a solução para uma reta ou plano que não passa pela origem — é um afim, não um subespaço linear.
Conclusão: a afirmativa III é falsa.
Passo 6
Resumo final das verdades:
- I é falsa.
- II é falsa.
- III é falsa.
Portanto todas as três afirmativas são falsas.
Resposta
(A)