Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto solução do sistema A \vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b} \neq \overrightarrow{0} é subespaço vetorial.
II. O complemento ortogonal de span \{\vec{u}, \vec{v}\}, \operatorname{com}\{\vec{u}, \vec{v}\} LD, não é subespaço vetorial.
III. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=5 z+5\right\} é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmativas e pede para identificar quais são verdadeiras ou falsas:
I. O conjunto solução do sistema A\vec{x}=\vec{b}, onde \vec{b}\neq\overrightarrow{0}, é subespaço vetorial.
II. O complemento ortogonal de \operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}, com \{\vec{u},\vec{v}\} linearmente dependente, não é subespaço vetorial.
III. \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=5z+5\right\} é subespaço vetorial.
As opções são as alternativas de (A) a (H). O objetivo é decidir a veracidade de I, II e III e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Lembrete prático: o que significa ser um subespaço vetorial de \mathbb{R}^n? Uma parte W\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço se e somente se:
  1. W contém o vetor nulo \overrightarrow{0}.
  2. W é fechada sob soma: se \vec{u},\vec{v}\in W então \vec{u}+\vec{v}\in W.
  3. W é fechada sob multiplicação por escalares: se \vec{u}\in W e \alpha\in\mathbb{R} então \alpha\vec{u}\in W.
Dica rápida: para ver se um conjunto NÃO é subespaço muitas vezes basta verificar que o vetor nulo não pertence. Se o nulo pertence, aí sim testamos as demais propriedades.

Passo 3

Análise da afirmativa I.
Teoria usada (explicada passo a passo): o conjunto solução de A\vec{x}=\vec{b} (quando existe solução) é da forma
\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n \mid A\vec{x}=\vec{b}\}=\vec{x}_p+\ker(A),
onde \vec{x}_p é uma solução particular e \ker(A)=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^n\mid A\vec{v}=\overrightarrow{0}\} é o espaço de soluções do sistema homogêneo. Isso significa: qualquer solução pode ser escrita como \vec{x}=\vec{x}_p+\vec{v} com \vec{v}\in\ker(A).
Por que isso mostra que, em geral, não é subespaço quando \vec{b}\neq\overrightarrow{0}? Se o conjunto solução fosse um subespaço, deveria conter \overrightarrow{0}. Mas \overrightarrow{0} satisfaz A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, então \overrightarrow{0} é solução somente se \vec{b}=\overrightarrow{0}. Portanto, quando \vec{b}\neq\overrightarrow{0} o conjunto solução não contém \overrightarrow{0} e logo não é subespaço.
Exemplo concreto e curtinho para fixar: a equação x=1 em \mathbb{R} tem conjunto solução \{1\}. Esse conjunto não contém 0, logo não é subespaço.
Conclusão: a afirmativa I é falsa.

Passo 4

Análise da afirmativa II.
Definição e propriedades (passo a passo): dado um subconjunto S\subseteq\mathbb{R}^n, o complemento ortogonal é
S^\perp=\{\vec{w}\in\mathbb{R}^n \mid \langle\vec{w},\vec{s}\rangle=0\\ \text{para todo}\\ \vec{s}\in S\},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto interno usual (produto escalar).
Mostraremos que S^\perp é sempre um subespaço:
  • O vetor nulo pertence: \langle\overrightarrow{0},\vec{s}\rangle=0 para todo \vec{s}, logo \overrightarrow{0}\in S^\perp.
  • Fechamento por soma: se \vec{w}_1,\vec{w}_2\in S^\perp então para todo \vec{s}\in S
\langle\vec{w}_1+\vec{w}_2,\vec{s}\rangle=\langle\vec{w}_1,\vec{s}\rangle+\langle\vec{w}_2,\vec{s}\rangle=0+0=0,
portanto \vec{w}_1+\vec{w}_2\in S^\perp.
  • Fechamento por escalares: se \alpha\in\mathbb{R} e \vec{w}\in S^\perp então
\langle\alpha\vec{w},\vec{s}\rangle=\alpha\langle\vec{w},\vec{s}\rangle=\alpha\cdot 0=0,
logo \alpha\vec{w}\in S^\perp.
Esses cálculos valem para qualquer S, independentemente de S ser gerado por vetores LD ou LI. No caso concreto de S=\operatorname{span}\{\vec{u},\vec{v}\}, mesmo que \{\vec{u},\vec{v}\} seja linearmente dependente (então o span tem dimensão 1 ou 0), o conjunto S^\perp continua a ser subespaço por exatamente essas propriedades.
Conclusão: a afirmativa II, que diz que o complemento ortogonal nesse caso “não é subespaço vetorial”, é falsa.

Passo 5

Análise da afirmativa III.
O conjunto dado é
T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=5z+5\}.
Testamos a condição necessária: conter o vetor nulo \overrightarrow{0}=(0,0,0). Substituindo z=0 na condição obteríamos x=5\cdot 0+5=5, então o vetor (0,0,0) não satisfaz x=5z+5 porque exigiria 0=5. Portanto \overrightarrow{0}\notin T. Como não contém o vetor nulo, T não pode ser subespaço vetorial.
Outro modo de ver (intuitivo): a equação x=5z+5 é uma equação afim (há uma constante +5). Subespaços correspondem a equações homogêneas (sem termos constantes). A presença do +5 desloca a solução para uma reta ou plano que não passa pela origem — é um afim, não um subespaço linear.
Conclusão: a afirmativa III é falsa.

Passo 6

Resumo final das verdades:
  • I é falsa.
  • II é falsa.
  • III é falsa.
Portanto todas as três afirmativas são falsas.

Resposta

(A)

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