Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z=3 y+3\right\} é subespaço vetorial.
II. O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^{3} não é subespaço vetorial
III. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • São dadas três afirmações sobre subconjuntos de \mathbb{R}^3 e propriedades de transformações lineares:
    I. \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=3y+3\right\} é subespaço vetorial.
    II. O núcleo de uma rotação em \mathbb{R}^3 não é subespaço vetorial.
    III. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
  • O problema pede que se identifique quais dessas afirmações são verdadeiras e, com isso, escolha a alternativa correta entre (A) a (G).

Passo 2

Primeiro, precisamos estar claros sobre o que é um subespaço vetorial (regra prática que vou usar em todas as checagens).
  • Definição prática: um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^n é subespaço vetorial se e somente se satisfa três propriedades básicas (que às vezes resumimos em duas):
    1. W contém o vetor nulo \overrightarrow{0}.
    2. W é fechado sob soma: se \vec{u}\in W e \vec{v}\in W então \vec{u}+\vec{v}\in W.
    3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se \vec{u}\in W e c\in\mathbb{R} então c\vec{u}\in W.
  • Observação muito útil (prática de prova): se um conjunto não contém \overrightarrow{0} então ele já NÃO é subespaço. Isso costuma ser o teste mais rápido.
Vou usar essa definição para verificar cada afirmação.

Passo 3

Analisando a afirmação I.
  • O conjunto é \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z=3y+3\right\}.
  • Verifico se o vetor nulo \overrightarrow{0}=(0,0,0) pertence ao conjunto: substituo y=0 em z=3y+3 e obtenho z=3. Para (0,0,0) precisamos de z=0. Como 0\neq 3, concluímos que \overrightarrow{0}\notin esse conjunto.
  • Pelo critério acima, se não contém o vetor nulo o conjunto não é subespaço vetorial.
  • Conclusão: a afirmação I é falsa. (Comentário intuitivo: esse conjunto é um plano afim deslocado — ele não passa pela origem — logo não é subespaço.)

Passo 4

Analisando a afirmação II.
  • Primeiro lembro o que é o núcleo (ou nulidade) de uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3: é o conjunto \ker(T)=\{\vec{v}\in\mathbb{R}^3\mid T(\vec{v})=\overrightarrow{0}\}.
  • Propriedade geral (teorema básico): para qualquer transformação linear T, o conjunto \ker(T) é sempre um subespaço vetorial. A razão é simples:
    • T(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0}, então \overrightarrow{0}\in\ker(T).
    • Se T(\vec{u})=\overrightarrow{0} e T(\vec{v})=\overrightarrow{0} então, pela linearidade, T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v})=\overrightarrow{0}, logo \vec{u}+\vec{v}\in\ker(T).
    • Se T(\vec{u})=\overrightarrow{0} e c\in\mathbb{R} então T(c\vec{u})=cT(\vec{u})=c\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, logo c\vec{u}\in\ker(T).
    • Assim \ker(T) satisfaz as três propriedades e é subespaço.
  • Agora, uma rotação em \mathbb{R}^3 é uma transformação linear (pode ser representada por uma matriz ortogonal com determinante 1), logo o seu núcleo é um subespaço por esse argumento geral. (Nota: para rotações próprias não-triviais a transformação é invertível e o núcleo é apenas \{\overrightarrow{0}\}, que também é um subespaço.)
  • Portanto a afirmação II, que diz que o núcleo de uma rotação NÃO é subespaço vetorial, é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação III.
  • O conjunto solução do sistema linear homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} é exatamente o núcleo (nullspace) da matriz A: \{\vec{x}\in\mathbb{R}^n\mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}.
  • Pelo mesmo argumento da linearidade usado no passo anterior:
    • A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0} então \overrightarrow{0} está no conjunto.
    • Se A\vec{u}=\overrightarrow{0} e A\vec{v}=\overrightarrow{0} então A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=\overrightarrow{0}, logo a soma permanece na solução.
    • Se A\vec{u}=\overrightarrow{0} e c\in\mathbb{R} então A(c\vec{u})=cA\vec{u}=\overrightarrow{0}, logo a multiplicação por escalar preserva a solução.
  • Assim o conjunto solução de A\vec{x}=\overrightarrow{0} é fechado sob soma e multiplicação por escalar e contém \overrightarrow{0}; portanto é subespaço vetorial.
  • Conclusão: a afirmação III é verdadeira.

Passo 6

Resumo das verdades/ falsidades das três afirmações:
  • I é falsa.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.
Logo apenas a afirmação III é verdadeira; isto corresponde à alternativa (E).

Resposta

(E)

Exercícios relacionados