Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I.
é subespaço vetorial.
II. O núcleo de uma rotação em
não é subespaço vetorial
III. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
I.
II. O núcleo de uma rotação em
III. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- São dadas três afirmações sobre subconjuntos de
e propriedades de transformações lineares:
I.é subespaço vetorial.
II. O núcleo de uma rotação emnão é subespaço vetorial.
III. O conjunto solução do sistema linear homogêneoé um subespaço vetorial. - O problema pede que se identifique quais dessas afirmações são verdadeiras e, com isso, escolha a alternativa correta entre
a .
Passo 2
Primeiro, precisamos estar claros sobre o que é um subespaço vetorial (regra prática que vou usar em todas as checagens).
-
Definição prática: um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfa três propriedades básicas (que às vezes resumimos em duas): -
contém o vetor nulo . -
é fechado sob soma: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
-
-
Observação muito útil (prática de prova): se um conjunto não contém
então ele já NÃO é subespaço. Isso costuma ser o teste mais rápido.
Vou usar essa definição para verificar cada afirmação.
Passo 3
Analisando a afirmação I.
- O conjunto é
. - Verifico se o vetor nulo
pertence ao conjunto: substituo em e obtenho . Para precisamos de . Como , concluímos que esse conjunto. - Pelo critério acima, se não contém o vetor nulo o conjunto não é subespaço vetorial.
- Conclusão: a afirmação I é falsa. (Comentário intuitivo: esse conjunto é um plano afim deslocado — ele não passa pela origem — logo não é subespaço.)
Passo 4
Analisando a afirmação II.
- Primeiro lembro o que é o núcleo (ou nulidade) de uma transformação linear
: é o conjunto . - Propriedade geral (teorema básico): para qualquer transformação linear
, o conjunto é sempre um subespaço vetorial. A razão é simples: -
, então . - Se
e então, pela linearidade, , logo . - Se
e então , logo . - Assim
satisfaz as três propriedades e é subespaço.
-
- Agora, uma rotação em
é uma transformação linear (pode ser representada por uma matriz ortogonal com determinante ), logo o seu núcleo é um subespaço por esse argumento geral. (Nota: para rotações próprias não-triviais a transformação é invertível e o núcleo é apenas , que também é um subespaço.) - Portanto a afirmação II, que diz que o núcleo de uma rotação NÃO é subespaço vetorial, é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação III.
- O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é exatamente o núcleo (nullspace) da matriz : . - Pelo mesmo argumento da linearidade usado no passo anterior:
-
então está no conjunto. - Se
e então , logo a soma permanece na solução. - Se
e então , logo a multiplicação por escalar preserva a solução.
-
- Assim o conjunto solução de
é fechado sob soma e multiplicação por escalar e contém ; portanto é subespaço vetorial. - Conclusão: a afirmação III é verdadeira.
Passo 6
Resumo das verdades/ falsidades das três afirmações:
- I é falsa.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
Logo apenas a afirmação III é verdadeira; isto corresponde à alternativa
.
Resposta
(E)