Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -2 \\\\ 4 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ -2 \\\\ 7 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 4 \\\\ 4 \\\\ -2\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado nos dá quatro vetores em \mathbb{R}^4:
v_1 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2 = \begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_3 = \begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 7\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_4 = \begin{pmatrix}0\\\ 4\\\ 4\\\ -2\end{pmatrix}
e pede a dimensão de \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}.
Conteúdo: dimensão de um subespaço gerado por vetores, que equivale ao número máximo de vetores linearmente independentes nesse conjunto.

Passo 2

Verificamos se v_3 pode ser escrito como combinação linear de v_1 e v_2. Calculamos
v_1 + v_2 = \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 3\\\ 0\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 4\\\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ -2\\\ 7\\\ 1\end{pmatrix} = v_3.
Logo v_3 = 1\cdot v_1 + 1\cdot v_2, de modo que v_3 é linearmente dependente de v_1,v_2.

Passo 3

Agora verificamos se v_4\) também é combinação de \(v_1\) e \(v_2\). Buscamos \(\alpha,\beta\) tais que \[\alpha v_1 + \beta v_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 4\\\ 4\\\ -2\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 0,\\\\ 0\cdot\alpha -2\beta = 4,\\\\ 3\alpha +4\beta = 4,\\\\ 0\cdot\alpha +1\beta = -2. \end{cases}
Da segunda equação -2\beta=4\implies \beta=-2\]. Então \(\alpha+2(-2)=0\implies \alpha=4. As demais coordenadas conferem, de modo que
v_4 = 4\,v_1 -2\,v_2.
Logo v_4 também é dependente de v_1,v_2.

Passo 4

Restam, em princípio, apenas v_1 e v_2. Verificamos que não existe escalar \lambda tal que v_1 = \lambda v_2, pois isso exigiria simultaneamente
1 = 2\lambda \quad\text{e}\quad 0 = -2\lambda,
o que é impossível. Portanto v_1 e v_2 são linearmente independentes.

Passo 5

Concluímos que o conjunto original tem exatamente dois vetores independentes v_1 e v_2, e v_3,v_4 são combinações deles. Assim
\dim\bigl(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\bigr) = 2.

Resposta

(C) 2

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