Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo conjunto gerador de V com 4 vetores é uma base de V.
II - Nenhum subconjunto de V com 3 vetores gera V.
III - Todo subconjunto de V com 5 vetores é LD.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial de dimensão 4 e pede para avaliar as seguintes afirmações:
I – Todo conjunto gerador de V com 4 vetores é uma base de V.
II – Nenhum subconjunto de V com 3 vetores gera V.
III – Todo subconjunto de V com 5 vetores é linearmente dependente.
Para resolver, vamos usar os teoremas clássicos sobre dimensão de espaços vetoriais finitos: tamanho mínimo de um gerador, tamanho máximo de um conjunto independente e a relação com o número de vetores em relação à dimensão.

Passo 2

Analisando I: em um espaço vetorial de dimensão n, qualquer conjunto gerador que tenha exatamente n vetores tem também obrigação de ser linearmente independente, pois se ele fosse dependente poderíamos retirar algum vetor e ainda gerar V, contradizendo o fato de ter tamanho mínimo. Logo, um gerador de tamanho igual à dimensão é base.

Passo 3

Analisando II: para gerar todo o espaço V de dimensão 4, precisamos de pelo menos 4 vetores. Qualquer conjunto com menos de 4 vetores não tem “vão” suficiente para alcançar toda a dimensão, então não pode ser gerador. Portanto, nenhum subconjunto com 3 vetores gera V.

Passo 4

Analisando III: também é padrão que em um espaço de dimensão n todo conjunto com mais de n vetores seja necessariamente linearmente dependente, porque não podem existir mais de n vetores independentes. Assim, qualquer subconjunto de V com 5 vetores é de fato linearmente dependente.

Passo 5

Como I, II e III são verdadeiras, a alternativa correta é a que indica que todas as afirmativas valem.

Resposta

(G) Todas são verdadeiras.

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