Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I - Todo conjunto gerador de
com 4 vetores é uma base de
.
II - Nenhum subconjunto de
com 3 vetores gera
.
III - Todo subconjunto de
com 5 vetores é LD.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
I - Todo conjunto gerador de
II - Nenhum subconjunto de
III - Todo subconjunto de
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas III é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas I e II são verdadeiras.
(G) Todas são verdadeiras.
(H) Apenas I é verdadeira.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial de dimensão
e pede para avaliar as seguintes afirmações:
I – Todo conjunto gerador de com 4 vetores é uma base de
.
II – Nenhum subconjunto de com 3 vetores gera
.
III – Todo subconjunto de com 5 vetores é linearmente dependente.
Para resolver, vamos usar os teoremas clássicos sobre dimensão de espaços vetoriais finitos: tamanho mínimo de um gerador, tamanho máximo de um conjunto independente e a relação com o número de vetores em relação à dimensão.
I – Todo conjunto gerador de
II – Nenhum subconjunto de
III – Todo subconjunto de
Para resolver, vamos usar os teoremas clássicos sobre dimensão de espaços vetoriais finitos: tamanho mínimo de um gerador, tamanho máximo de um conjunto independente e a relação com o número de vetores em relação à dimensão.
Passo 2
Analisando I: em um espaço vetorial de dimensão
, qualquer conjunto gerador que tenha exatamente
vetores tem também obrigação de ser linearmente independente, pois se ele fosse dependente poderíamos retirar algum vetor e ainda gerar
, contradizendo o fato de ter tamanho mínimo. Logo, um gerador de tamanho igual à dimensão é base.
Passo 3
Analisando II: para gerar todo o espaço
de dimensão
, precisamos de pelo menos
vetores. Qualquer conjunto com menos de
vetores não tem “vão” suficiente para alcançar toda a dimensão, então não pode ser gerador. Portanto, nenhum subconjunto com
vetores gera
.
Passo 4
Analisando III: também é padrão que em um espaço de dimensão
todo conjunto com mais de
vetores seja necessariamente linearmente dependente, porque não podem existir mais de
vetores independentes. Assim, qualquer subconjunto de
com
vetores é de fato linearmente dependente.
Passo 5
Como I, II e III são verdadeiras, a alternativa correta é a que indica que todas as afirmativas valem.
Resposta
(G) Todas são verdadeiras.