Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ -3 \\\\ 3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 1 \\\\ 4 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 2 \\\\ 9 \\\\ -2\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a dimensão do subespaço
\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}
onde os vetores dados são
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -3\\\ 3\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 4\\\ -1\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 9\\\ -2\end{pmatrix}.
Informação relevante: a dimensão do span é o número máximo de vetores linearmente independentes entre esses quatro vetores (ou, equivalentemente, a posto da matriz formada por eles).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): para achar a dimensão do span, formamos a matriz cujas colunas são os vetores v_1,v_2,v_3,v_4 e calculamos o posto dessa matriz por eliminação de Gauss. O posto é o número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada), que corresponde ao número de vetores linearmente independentes. Vou executar as operações linha a linha, explicando cada passo.

Passo 3

Formo a matriz A com os vetores como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 2\\[4pt] -1 & -3 & 4 & 9\\[4pt] 0 & 3 & -1 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Usar a primeira linha como pivô para zerar o elemento -1 na terceira linha (coluna 1). Faço R_3\leftarrow R_3+R_1. Cálculo componente a componente:
R_3+R_1 = (-1+1,\; -3+1,\; 4+1,\; 9+1)=(0,-2,5,10).
A matriz torna-se
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & -2 & 5 & 10\\[4pt] 0 & 3 & -1 & -2 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora escolho o pivô na posição (2,2), que é -1, e uso R_2 para zerar os elementos nas outras linhas da coluna 2.
Para zerar a entrada -2 em R_3: faço R_3\leftarrow R_3-2R_2. Cálculo:
R_3-2R_2=(0,\; -2-2(-1),\; 5-2\cdot1,\; 10-2\cdot2)=(0,0,3,6).
Para zerar a entrada 3 em R_4: faço R_4\leftarrow R_4+3R_2 (porque R_2 tem -1 na coluna 2). Cálculo:
R_4+3R_2=(0,\;3+3(-1),\;-1+3\cdot1,\;-2+3\cdot2)=(0,0,2,4).
A matriz agora é
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 6\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Examino a submatriz das duas últimas linhas e colunas a partir da coluna 3. Vejo que R_4=(0,0,2,4) é múltiplo de R_3=(0,0,3,6), pois
R_4=\tfrac{2}{3}R_3.
Isso significa que, após escalonar completamente, a quarta linha se tornaria linha nula — há apenas três linhas não nulas (pivôs): uma na coluna 1, outra na coluna 2 e outra na coluna 3. Logo o posto de A é 3.

Passo 7

Conclusão didática: o posto da matriz (número de pivôs) é o número máximo de vetores linearmente independentes entre v_1,v_2,v_3,v_4. Portanto a dimensão do span é igual ao posto, que encontramos ser 3. Força aí — dá pra decorar esse tipo de procedimento: formar a matriz, escalonar, contar pivôs.

Resposta

(D) \,3

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