O que o enunciado pede: determinar a dimensão do subespaço gerado (o span) pelo conjunto de quatro vetores em \mathbb{R}^4. Ou seja, encontrar \dim\big(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}).
O que vou responder no final: qual é a dimensão do span desses vetores (uma das alternativas A–E).]
Passo 2
Ideia e conceito necessário (com explicação didática e simples).
O span de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. A dimensão do span é o número máximo de vetores linearmente independentes desse conjunto; é o mesmo que o posto (rank) da matriz cujas colunas são esses vetores.
Para encontrar essa dimensão, vamos montar a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4 e calcular o posto de A fazendo eliminação de Gauss (redução por linhas). O posto é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes, equivalente ao número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada).
Por que esse método? Porque reduzir por linhas é uma maneira sistemática de descobrir dependências lineares entre colunas (ou linhas) e fornece o número exato de vetores independentes. É o método básico e direto que costuma ser cobrado.
Agora foco na submatriz das linhas 2–4 e colunas 2–4. Tomo a_{22}=-3 como pivô (posso trocar de sinal para facilitar):
multiplico a segunda linha por -1 (isso não muda o número de pivôs, só simplifica):
Na forma escalonada obtida há exatamente duas linhas não nulas (as duas primeiras). Isso significa que existem exatamente dois pivôs (coluna 1 e coluna 2 são pivôs na forma obtida).
O posto (rank) da matriz A é 2. Portanto a dimensão do espaço gerado pelas colunas (isto é, \dim(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\})) é 2.
Para reforçar a intuição: isso quer dizer que apenas dois dos vetores são necessários para gerar todos os outros; os outros dois são combinações lineares dos dois primeiros. Podemos até achar essas combinações rapidamente usando equações (apenas para verificação):
Para v_3 existe a,b com a v_1 + b v_2 = v_3. Pela coordenada 4 (a mais simples) obtemos -a + 0\cdot b = 2 então a=-2; pela primeira coordenada a-b=-3 dá b=1. Logo v_3 = -2v_1 + 1v_2.
Para v_4 usando a coordenada 4: -a = 6 dá a=-6; pela primeira coordenada -6 - b = -3 dá b=-3. Logo v_4 = -6v_1 -3v_2.
Esses cálculos confirmam que v_3 e v_4 estão no span\{v_1,v_2\}.