Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 2 \\\\ -2 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ -5 \\\\ 3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -9 \\\\ 7 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 3 \\\\ 3 \\\\ 6\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a dimensão do subespaço gerado (o span) pelo conjunto de quatro vetores em \mathbb{R}^4. Ou seja, encontrar \dim\big(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}).
Informações dadas (os vetores fornecidos):
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]-2\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-5\\[4pt]3\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad v_3=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-9\\[4pt]7\\[4pt]2\end{pmatrix},\qquad v_4=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]3\\[4pt]3\\[4pt]6\end{pmatrix}.
O que vou responder no final: qual é a dimensão do span desses vetores (uma das alternativas A–E).]

Passo 2

Ideia e conceito necessário (com explicação didática e simples).
  • O span de um conjunto de vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. A dimensão do span é o número máximo de vetores linearmente independentes desse conjunto; é o mesmo que o posto (rank) da matriz cujas colunas são esses vetores.
  • Para encontrar essa dimensão, vamos montar a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4 e calcular o posto de A fazendo eliminação de Gauss (redução por linhas). O posto é o número de linhas (ou colunas) linearmente independentes, equivalente ao número de pivôs (linhas não nulas na forma escalonada).
  • Por que esse método? Porque reduzir por linhas é uma maneira sistemática de descobrir dependências lineares entre colunas (ou linhas) e fornece o número exato de vetores independentes. É o método básico e direto que costuma ser cobrado.

Passo 3

Formo a matriz A com os vetores como colunas:
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -3\\[4pt] 2 & -5 & -9 & 3\\[4pt] -2 & 3 & 7 & 3\\[4pt] -1 & 0 & 2 & 6 \end{pmatrix}.
Cada coluna é um dos v_i. Nosso objetivo é reduzir A por linhas e contar quantas linhas não nulas restam (ou quantos pivôs).]

Passo 4

Primeiro passo da eliminação: usar a_{11}=1 como pivô para zerar abaixo na coluna 1.
As operações (escritas como transformações de linhas) são:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1,\qquad R_4 \leftarrow R_4 + R_1.
Faço cada uma com contas explícitas:
  • R_2 - 2R_1 = (2,-5,-9,3) - 2(1,-1,-3,-3) = (0,-3,-3,9).
  • R_3 + 2R_1 = (-2,3,7,3) + 2(1,-1,-3,-3) = (0,1,1,-3).
  • R_4 + R_1 = (-1,0,2,6) + (1,-1,-3,-3) = (0,-1,-1,3).
A matriz fica:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -3\\[4pt] 0 & -3 & -3 & 9\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -3\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora foco na submatriz das linhas 2–4 e colunas 2–4. Tomo a_{22}=-3 como pivô (posso trocar de sinal para facilitar):
multiplico a segunda linha por -1 (isso não muda o número de pivôs, só simplifica):
R_2 \leftarrow -R_2 = (0,3,3,-9).
A matriz passa a ser
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -3\\[4pt] 0 & 3 & 3 & -9\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -3\\[4pt] 0 & -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Zerar as entradas abaixo do pivô a_{22}=3. Para anular as segundas entradas de R_3 e R_4 faço:
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{3}R_2,\qquad R_4 \leftarrow R_4 + \tfrac{1}{3}R_2.
Calculemos explicitamente:
  • R_3 - \tfrac{1}{3}R_2 = (0,1,1,-3) - \tfrac{1}{3}(0,3,3,-9) = (0,0,0,0).
  • R_4 + \tfrac{1}{3}R_2 = (0,-1,-1,3) + \tfrac{1}{3}(0,3,3,-9) = (0,0,0,0).
A matriz reduzida fica então:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3 & -3\\[4pt] 0 & 3 & 3 & -9\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Interpretação do resultado da eliminação:
  • Na forma escalonada obtida há exatamente duas linhas não nulas (as duas primeiras). Isso significa que existem exatamente dois pivôs (coluna 1 e coluna 2 são pivôs na forma obtida).
  • O posto (rank) da matriz A é 2. Portanto a dimensão do espaço gerado pelas colunas (isto é, \dim(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\})) é 2.
Para reforçar a intuição: isso quer dizer que apenas dois dos vetores são necessários para gerar todos os outros; os outros dois são combinações lineares dos dois primeiros. Podemos até achar essas combinações rapidamente usando equações (apenas para verificação):
  • Para v_3 existe a,b com a v_1 + b v_2 = v_3. Pela coordenada 4 (a mais simples) obtemos -a + 0\cdot b = 2 então a=-2; pela primeira coordenada a-b=-3 b=1. Logo v_3 = -2v_1 + 1v_2.
  • Para v_4 usando a coordenada 4: -a = 6 a=-6; pela primeira coordenada -6 - b = -3 b=-3. Logo v_4 = -6v_1 -3v_2.
    Esses cálculos confirmam que v_3 e v_4 estão no span \{v_1,v_2\}.

Resposta

(C) 2

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