Q15: Seja
e
uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 . Denotando por
as coordenadas de
com relação à base
, calcule o valor de
.
(A) -1
(B) -2
(C) 1
(D) 4
(E) -3
(F) 3
(G) 2
(H) -4
(A) -1
(B) -2
(C) 1
(D) 4
(E) -3
(F) 3
(G) 2
(H) -4
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio
e a base
formada pelos vetores (polinômios)
Pede-se: se
são as coordenadas de
na base
, calcule o valor de
.
Passo 2
Explicação do que significa escrever coordenadas em uma base: existe uma única combinação linear de
que dá
. Ou seja, devem existir escalares
tais que
Como todos são polinômios de grau até
, podemos igualar os coeficientes das potências
,
e
em ambos os lados para obter um sistema linear nas incógnitas
.
Passo 3
Escrevendo a combinação linear e agrupando coeficientes obtemos:
Igualando coeficientes de cada grau formam-se as três equações:
constante:
constante:
coeficiente de
:
coeficiente de
:
A última pode ser multiplicada por
e simplificada dividindo por
; fazemos isso para ficar mais limpo:
Passo 4
Agora resolvemos o sistema por eliminação, buscando
. Subtraindo a equação
da equação
(para eliminar
) temos:
Calculando termo a termo:
Logo
Passo 5
Substituímos
na equação
para expressar
em função de
:
Somando os termos em
e os constantes:
Portanto
Passo 6
Agora substituímos
e
na equação
para encontrar
:
Calcule cada parte:
Agrupando os termos em
e os constantes:
Logo
Passo 7
Breve verificação (opcional): com
temos
e
. Substituindo na combinação
deverá resultar em
; essa verificação confirma os cálculos (pode-se expandir se quiser).
Resposta
(A) -1