Q15: Seja p(x)=-5-15 x+8 x^{2} e
\beta=\left\{1+3 x-2 x^{2}, \quad 2+5 x-2 x^{2}, \quad 3+11 x-8 x^{2}\right\} uma base do espaço dos polinômios de grau até 2 . Denotando por [p]_{\beta}=(a, b, c) as coordenadas de p com relação à base \beta, calcule o valor de c.
(A) -1
(B) -2
(C) 1
(D) 4
(E) -3
(F) 3
(G) 2
(H) -4

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
p(x) = -5 - 15x + 8x^{2}
e a base \beta formada pelos vetores (polinômios)
v_{1} = 1 + 3x - 2x^{2},\qquad v_{2} = 2 + 5x - 2x^{2},\qquad v_{3} = 3 + 11x - 8x^{2}.
Pede-se: se [p]_{\beta} = (a,b,c) são as coordenadas de p na base \beta, calcule o valor de c.

Passo 2

Explicação do que significa escrever coordenadas em uma base: existe uma única combinação linear de v_{1},v_{2},v_{3} que dá p. Ou seja, devem existir escalares a,b,c tais que
a v_{1} + b v_{2} + c v_{3} = p.
Como todos são polinômios de grau até 2, podemos igualar os coeficientes das potências 1, x e x^{2} em ambos os lados para obter um sistema linear nas incógnitas a,b,c.

Passo 3

Escrevendo a combinação linear e agrupando coeficientes obtemos:
a(1+3x-2x^{2}) + b(2+5x-2x^{2}) + c(3+11x-8x^{2}) = -5 -15x +8x^{2}.
Igualando coeficientes de cada grau formam-se as três equações:
constante:
a + 2b + 3c = -5,
coeficiente de x:
3a + 5b + 11c = -15,
coeficiente de x^{2}:
-2a -2b -8c = 8.
A última pode ser multiplicada por -1 e simplificada dividindo por 2; fazemos isso para ficar mais limpo:
a + b + 4c = -4.

Passo 4

Agora resolvemos o sistema por eliminação, buscando c. Subtraindo a equação a+b+4c=-4 da equação a+2b+3c=-5 (para eliminar a) temos:
(a+2b+3c) - (a+b+4c) = -5 - (-4).
Calculando termo a termo:
b - c = -1.
Logo
b = c - 1.

Passo 5

Substituímos b=c-1 na equação a+b+4c=-4 para expressar a em função de c:
a + (c-1) + 4c = -4.
Somando os termos em c e os constantes:
a + 5c -1 = -4 \quad\Rightarrow\quad a + 5c = -3.
Portanto
a = -3 - 5c.

Passo 6

Agora substituímos a = -3-5c e b = c-1 na equação 3a+5b+11c=-15 para encontrar c:
3(-3-5c) + 5(c-1) + 11c = -15.
Calcule cada parte:
-9 -15c + 5c -5 + 11c = -15.
Agrupando os termos em c e os constantes:
(-15c +5c +11c) + (-9 -5) = -15 \quad\Rightarrow\quad c -14 = -15.
Logo
c = -15 + 14 = -1.

Passo 7

Breve verificação (opcional): com c=-1 temos b = c-1 = -2 e a = -3-5c = -3 -5(-1) = 2. Substituindo na combinação
2v_{1} + (-2)v_{2} + (-1)v_{3}
deverá resultar em -5 -15x +8x^{2}; essa verificação confirma os cálculos (pode-se expandir se quiser).

Resposta

(A) -1

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