Q14: Seja
um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I. Todo conjunto gerador de
com 4 vetores é uma base de
.
II. Todo subconjunto de
com menos do que 4 vetores é LI.
III. Nenhum subconjunto de
com 3 vetores gera
.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Só I e III são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
I. Todo conjunto gerador de
II. Todo subconjunto de
III. Nenhum subconjunto de
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Só I e III são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá que
é um espaço vetorial de dimensão
e apresenta três afirmativas sobre conjuntos de vetores em
:
I. Todo conjunto gerador de
com
vetores é uma base de
.
II. Todo subconjunto de com menos do que
vetores é linearmente independente (LI).
III. Nenhum subconjunto de com
vetores gera
.
II. Todo subconjunto de
III. Nenhum subconjunto de
A tarefa é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras e qual alternativa (A)–(H) corresponde à combinação correta.
Passo 2
Antes de começar a provar/contradizer cada afirmativa, vamos revisar com calma os conceitos que vamos usar (tipo aula rapidinha e direta).
- Um conjunto
é gerador (ou gera ) se toda pode ser escrita como combinação linear de elementos de . - Um conjunto
é uma base de se (i) gera e (ii) é linearmente independente (LI). - Dizemos que vetores
são linearmente dependentes se existem escalares não todos nulos tais que . Caso contrário são LI. - A dimensão de
, , é o número de vetores de qualquer base de . Aqui .
Dois fatos importantes (teoremas padrão, vou justificar rapidamente depois):
- Em um espaço de dimensão
, qualquer conjunto gerador com exatamente vetores é automaticamente uma base. - Em um espaço de dimensão
, qualquer conjunto de vetores que gera o espaço tem pelo menos vetores; e qualquer conjunto LI tem no máximo vetores.
Passo 3
Vou provar de forma direta o fato que usarei para I e III (é um raciocínio curto, mas fundamental).
Proposição: Se
, então nenhum conjunto gerador de
pode ter menos de
vetores; e se um conjunto gera
e tem exatamente
vetores então é uma base.
Prova (ideia simples): Seja
um conjunto gerador de
. Pelo Teorema da Base, existe uma base
de
com
. A partir de
pode-se extrair uma base (faz-se um processo de eliminar vetores que são combinação linear dos outros até obter um conjunto LI que ainda gera). Esse processo nunca produz menos de
vetores se o espaço tem dimensão
. Formalmente: se
gerasse com menos de
vetores, então existiria uma base com menos de
vetores — contradiz
. Logo todo conjunto gerador tem pelo menos
vetores.
Agora, se
gera
e tem exatamente
vetores, suponha, por contradição, que
fosse linearmente dependente. Então seria possível retirar algum vetor de
sem perder o fato de gerar
(porque um vetor dependente é combinação dos outros), ficando um conjunto gerador com menos de
vetores — contradiz o parágrafo anterior. Logo
não pode ser dependente; portanto é LI. Como gera e é LI,
é base.
Esse raciocínio é curto mas essencial: tamanho certo igual à dimensão + gerador implica base.
Passo 4
Aplicando o raciocínio ao caso concreto:
.
Para a afirmativa I: “Todo conjunto gerador de
com
vetores é uma base de
.”
- Pelo que provamos no passo anterior: se um conjunto gera
e tem exatamente vetores, então não pode ser linearmente dependente (caso contrário tiraríamos um vetor e ainda geraria , contradizendo que não existe gerador com menos de vetores). Portanto esse conjunto é LI e gera , ou seja, é base. - Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Explicação em palavras: ter exatamente o número certo de vetores que geram o espaço “encaixa” perfeitamente com a definição de base — sobra prova de que eles não podem ser redundantes.
Passo 5
Agora a afirmativa II: “Todo subconjunto de
com menos do que
vetores é LI.”
- Essa afirmativa diz que qualquer conjunto com
, ou vetores é necessariamente linearmente independente. Isso não é verdade em geral: ter poucos vetores não garante independência — eles podem ser múltiplos entre si ou combinações lineares uns dos outros. - Exemplo simples e concreto (contrexemplo): trabalhe em
(é um espaço vetorial de dimensão ). Tome os vetores Esses dois vetores estão em e são linearmente dependentes porque com coeficientes não todos nulos. Logo já existe um subconjunto com menos que vetores que é dependente. - Portanto a afirmativa II é falsa.
Intuição: “menos do que
vetores” é apenas uma condição de quantidade, não impede que sejam redundantes entre si.
Passo 6
Afirmativa III: “Nenhum subconjunto de
com
vetores gera
.”
- Se existisse um subconjunto com
vetores que gerasse , então haveria um gerador de com menos de vetores, o que contradiz o fato (do passo 3) de que qualquer gerador de um espaço de dimensão deve ter pelo menos vetores. Outra forma: se três vetores gerassem , então seria possível extrair uma base com no máximo vetores, o que implicaria , contradizendo . - Portanto é impossível que um conjunto de apenas
vetores gere . - Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 7
Resumindo os resultados obtidos:
- I é verdadeira.
- II é falsa (existe contrexemplo).
- III é verdadeira.
Logo as afirmativas verdadeiras são I e III.
Resposta
(E) Só I e III são verdadeiras.