Q14: Seja V um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I. Todo conjunto gerador de V com 4 vetores é uma base de V.
II. Todo subconjunto de V com menos do que 4 vetores é LI.
III. Nenhum subconjunto de V com 3 vetores gera V.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Só I e II são verdadeiras.
(D) Todas são falsas.
(E) Só I e III são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Só I é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá que V é um espaço vetorial de dimensão 4 e apresenta três afirmativas sobre conjuntos de vetores em V:
I. Todo conjunto gerador de V com 4 vetores é uma base de V.
II. Todo subconjunto de V com menos do que 4 vetores é linearmente independente (LI).
III. Nenhum subconjunto de V com 3 vetores gera V.
A tarefa é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras e qual alternativa (A)–(H) corresponde à combinação correta.

Passo 2

Antes de começar a provar/contradizer cada afirmativa, vamos revisar com calma os conceitos que vamos usar (tipo aula rapidinha e direta).
  • Um conjunto S\subseteq V é gerador (ou gera V) se toda v\in V pode ser escrita como combinação linear de elementos de S.
  • Um conjunto S é uma base de V se (i) gera V e (ii) é linearmente independente (LI).
  • Dizemos que vetores v_1,\dots,v_k são linearmente dependentes se existem escalares não todos nulos a_1,\dots,a_k tais que a_1v_1+\cdots+a_kv_k=0. Caso contrário são LI.
  • A dimensão de V, \dim V, é o número de vetores de qualquer base de V. Aqui \dim V=4.
Dois fatos importantes (teoremas padrão, vou justificar rapidamente depois):
  • Em um espaço de dimensão n, qualquer conjunto gerador com exatamente n vetores é automaticamente uma base.
  • Em um espaço de dimensão n, qualquer conjunto de vetores que gera o espaço tem pelo menos n vetores; e qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores.

Passo 3

Vou provar de forma direta o fato que usarei para I e III (é um raciocínio curto, mas fundamental).
Proposição: Se \dim V=n, então nenhum conjunto gerador de V pode ter menos de n vetores; e se um conjunto gera V e tem exatamente n vetores então é uma base.
Prova (ideia simples): Seja S um conjunto gerador de V. Pelo Teorema da Base, existe uma base B de V com |B|=n. A partir de S pode-se extrair uma base (faz-se um processo de eliminar vetores que são combinação linear dos outros até obter um conjunto LI que ainda gera). Esse processo nunca produz menos de n vetores se o espaço tem dimensão n. Formalmente: se S gerasse com menos de n vetores, então existiria uma base com menos de n vetores — contradiz \dim V=n. Logo todo conjunto gerador tem pelo menos n vetores.
Agora, se S gera V e tem exatamente n vetores, suponha, por contradição, que S fosse linearmente dependente. Então seria possível retirar algum vetor de S sem perder o fato de gerar V (porque um vetor dependente é combinação dos outros), ficando um conjunto gerador com menos de n vetores — contradiz o parágrafo anterior. Logo S não pode ser dependente; portanto é LI. Como gera e é LI, S é base.
Esse raciocínio é curto mas essencial: tamanho certo igual à dimensão + gerador implica base.

Passo 4

Aplicando o raciocínio ao caso concreto: \dim V=4.
Para a afirmativa I: “Todo conjunto gerador de V com 4 vetores é uma base de V.”
  • Pelo que provamos no passo anterior: se um conjunto gera V e tem exatamente \dim V=4 vetores, então não pode ser linearmente dependente (caso contrário tiraríamos um vetor e ainda geraria V, contradizendo que não existe gerador com menos de 4 vetores). Portanto esse conjunto é LI e gera V, ou seja, é base.
  • Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Explicação em palavras: ter exatamente o número certo de vetores que geram o espaço “encaixa” perfeitamente com a definição de base — sobra prova de que eles não podem ser redundantes.

Passo 5

Agora a afirmativa II: “Todo subconjunto de V com menos do que 4 vetores é LI.”
  • Essa afirmativa diz que qualquer conjunto com 1, 2 ou 3 vetores é necessariamente linearmente independente. Isso não é verdade em geral: ter poucos vetores não garante independência — eles podem ser múltiplos entre si ou combinações lineares uns dos outros.
  • Exemplo simples e concreto (contrexemplo): trabalhe em V=\mathbb{R}^4 (é um espaço vetorial de dimensão 4). Tome os vetores v_1=(1,0,0,0),\qquad v_2=(2,0,0,0).Esses dois vetores estão em V e são linearmente dependentes porque 2v_1 - v_2 = 0 com coeficientes não todos nulos. Logo já existe um subconjunto com menos que 4 vetores que é dependente.
  • Portanto a afirmativa II é falsa.
Intuição: “menos do que 4 vetores” é apenas uma condição de quantidade, não impede que sejam redundantes entre si.

Passo 6

Afirmativa III: “Nenhum subconjunto de V com 3 vetores gera V.”
  • Se existisse um subconjunto com 3 vetores que gerasse V, então haveria um gerador de V com menos de 4 vetores, o que contradiz o fato (do passo 3) de que qualquer gerador de um espaço de dimensão 4 deve ter pelo menos 4 vetores. Outra forma: se três vetores gerassem V, então seria possível extrair uma base com no máximo 3 vetores, o que implicaria \dim V\le 3, contradizendo \dim V=4.
  • Portanto é impossível que um conjunto de apenas 3 vetores gere V.
  • Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 7

Resumindo os resultados obtidos:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa (existe contrexemplo).
  • III é verdadeira.
Logo as afirmativas verdadeiras são I e III.

Resposta

(E) Só I e III são verdadeiras.

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