Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ 4 \\\\ -3 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}-2 \\\\ -4 \\\\ -1 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -1 \\\\ 3 \\\\ 9\end{array}\right]\right\}.
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede para determinar a dimensão do subespaço gerado (span) pelos quatro vetores dados. Os vetores fornecidos são (cada um em \mathbb{R}^4; peguei-os do enunciado):
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]-1\\[4pt]-1\end{pmatrix},\qquad v_2=\begin{pmatrix}3\\[4pt]4\\[4pt]-3\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad v_3=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]-4\\[4pt]-1\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad v_4=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]-1\\[4pt]3\\[4pt]9\end{pmatrix}.
O que se pede explicitamente: determinar \dim\big(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\big).]

Passo 2

O que vamos usar (explicando de forma didática): a dimensão do span de um conjunto de vetores é o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles. Um jeito prático de descobrir isso é montar uma matriz com esses vetores como colunas e aplicar eliminação por linhas (redução por linhas) para encontrar o posto (rank) da matriz. O posto da matriz (número de pivôs/linhas não nulas na forma escalonada por linhas) é exatamente a dimensão do span. Importante: operações elementares por linhas não mudam as dependências lineares entre as colunas, portanto preservam o dimensionamento do span.

Passo 3

Formo a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4:
A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & -3\\[4pt] 1 & 4 & -4 & -1\\[4pt] -1 & -3 & -1 & 3\\[4pt] -1 & 0 & -2 & 9 \end{pmatrix}.
Agora faço eliminação linha a linha, explicando cada operação.]

Passo 4

Primeira rodada: uso a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo na coluna 1.
Aplicando as operações por linhas
R_2\leftarrow R_2-R_1,\qquad R_3\leftarrow R_3+R_1,\qquad R_4\leftarrow R_4+R_1,
obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & -3\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 3 & -4 & 6 \end{pmatrix}.
(Verificação dos cálculos: R_2=(1,4,-4,-1)-(1,3,-2,-3)=(0,1,-2,2); R_3=(-1,-3,-1,3)+(1,3,-2,-3)=(0,0,-3,0); R_4=(-1,0,-2,9)+(1,3,-2,-3)=(0,3,-4,6).)]

Passo 5

Segunda rodada: uso o pivô na segunda linha (entrada 1 na coluna 2) para zerar a entrada correspondente em R_4.
Aplicando
R_4\leftarrow R_4-3R_2,
obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & -3\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
(Cálculo: R_4=(0,3,-4,6)-3(0,1,-2,2)=(0,0,2,0).)]

Passo 6

Terceira rodada: agora olhamos a submatriz nas colunas a partir da terceira (linhas 3 e 4). Temos as entradas -3 em R_3 e 2 em R_4 na coluna 3. Podemos eliminar a linha 4 somando \tfrac{2}{3} vezes R_3 a R_4:
R_4\leftarrow R_4+\tfrac{2}{3}R_3,
o que dá
\begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & -3\\[4pt] 0 & 1 & -2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & -3 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
(Efetivamente, \,2+\tfrac{2}{3}(-3)=2-2=0\,, e as outras entradas da linha 4 ficam zero.)
Interpretação do resultado: na forma escalonada por linhas que obtivemos há exatamente três linhas não nulas (linhas 1, 2 e 3). Cada linha não nula corresponde a um pivô em uma coluna distinta, portanto o posto da matriz é 3. Como o posto é o número máximo de colunas linearmente independentes, isso significa que exatamente três dos vetores são linearmente independentes e o quarto é combinação linear dos outros três.]

Passo 7

Conclusão final: a dimensão do espaço gerado pelos quatro vetores é igual ao posto da matriz, isto é, \dim(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\})=3. Força aí — resultado curto e limpo na prova: basta montar a matriz e contar os pivôs.

Resposta

(D) 3

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