O enunciado pede para determinar a dimensão do subespaço gerado (span) pelos quatro vetores dados. Os vetores fornecidos são (cada um em \mathbb{R}^4; peguei-os do enunciado):
O que se pede explicitamente: determinar \dim\big(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\big).]
Passo 2
O que vamos usar (explicando de forma didática): a dimensão do span de um conjunto de vetores é o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles. Um jeito prático de descobrir isso é montar uma matriz com esses vetores como colunas e aplicar eliminação por linhas (redução por linhas) para encontrar o posto (rank) da matriz. O posto da matriz (número de pivôs/linhas não nulas na forma escalonada por linhas) é exatamente a dimensão do span. Importante: operações elementares por linhas não mudam as dependências lineares entre as colunas, portanto preservam o dimensionamento do span.
Passo 3
Formo a matriz A cujas colunas são v_1,v_2,v_3,v_4:
Terceira rodada: agora olhamos a submatriz nas colunas a partir da terceira (linhas 3 e 4). Temos as entradas -3 em R_3 e 2 em R_4 na coluna 3. Podemos eliminar a linha 4 somando \tfrac{2}{3} vezes R_3 a R_4:
(Efetivamente, \,2+\tfrac{2}{3}(-3)=2-2=0\,, e as outras entradas da linha 4 ficam zero.)
Interpretação do resultado: na forma escalonada por linhas que obtivemos há exatamente três linhas não nulas (linhas 1, 2 e 3). Cada linha não nula corresponde a um pivô em uma coluna distinta, portanto o posto da matriz é 3. Como o posto é o número máximo de colunas linearmente independentes, isso significa que exatamente três dos vetores são linearmente independentes e o quarto é combinação linear dos outros três.]
Passo 7
Conclusão final: a dimensão do espaço gerado pelos quatro vetores é igual ao posto da matriz, isto é, \dim(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\})=3. Força aí — resultado curto e limpo na prova: basta montar a matriz e contar os pivôs.