Q13: Determine a dimensão de
\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -2 \\\\ 2 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ -9 \\\\ 4 \\\\ -4\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}3 \\\\ -6 \\\\ 4 \\\\ -5\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 9 \\\\ 8 \\\\ -7\end{array}\right]\right\}.

(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
(E) 4

Passo 1

O enunciado pede a dimensão do subespaço gerado por quatro vetores em \mathbb{R}^4. Para resolver, vamos usar o conceito de posto (rank) de uma matriz e eliminação de Gauss: montamos uma matriz que tem esses vetores como linhas e aplicamos operações elementares para descobrir quantas linhas independentes restam.

Passo 2

Definimos a matriz A cujas linhas são os vetores fornecidos:
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & -2\\\\ 3 & -9 & 4 & -4\\\\ 3 & -6 & 4 & -5\\\\ 0 & 9 & 8 & -7 \end{pmatrix}.

Passo 3

Usamos o elemento a_{11}=1 como pivô e anulamos abaixo:
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Após essas operações, a matriz se torna
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & -2\\\\ 0 & -3 & -2 & 2\\\\ 0 & 0 & -2 & 1\\\\ 0 & 9 & 8 & -7 \end{pmatrix}.

Passo 4

O pivô seguinte é a_{22}=-3. Anulamos a entrada correspondente em R_4 com
R_4 \leftarrow R_4 - \frac{9}{-3}\,R_2 = R_4 + 3R_2,
ficando
\begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 & -2\\\\ 0 & -3 & -2 & 2\\\\ 0 & 0 & -2 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Usamos a_{33}=-2 como pivô para zerar abaixo:
R_4 \leftarrow R_4 - \frac{2}{-2}R_3 = R_4 + R_3,
o que leva R_4 a ser nula. Permanecem três linhas não nulas, então o posto de A é 3.

Resposta

(D)

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