S = \{(x_{1},\dots,x_{14})\in\mathbb{R}^{14}\mid x_{5}=x_{1},\;x_{3}=x_{9},\;x_{3}+x_{5}=x_{9}+x_{1}\}.
Queremos encontrar a dimensão de S. O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente subespaços definidos por equações lineares homogêneas e o Teorema da Dimensão (ou Teorema da Base e Dimensão).
Passo 2
Observamos as três equações lineares homogêneas em \mathbb{R}^{14}\):
\[\begin{cases} x_{5}-x_{1}=0,\\\ x_{3}-x_{9}=0,\\\ x_{3}+x_{5}-x_{9}-x_{1}=0. \end{cases}
Podemos pensar nelas como um sistema A\,x=0\], onde \(A tem três linhas.
Passo 3
Verificamos se há dependência entre essas equações. Somando a primeira com a segunda: