Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{14}\right) \in \mathbb{R}^{14} tais que:
\left\{\begin{aligned} x_{5} & =x_{1} \\ x_{3} & =x_{9} \\ x_{3}+x_{5} & =x_{9}+x_{1} \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
S = \{(x_{1},\dots,x_{14})\in\mathbb{R}^{14}\mid x_{5}=x_{1},\;x_{3}=x_{9},\;x_{3}+x_{5}=x_{9}+x_{1}\}.
Queremos encontrar a dimensão de S. O conteúdo é Álgebra Linear, mais precisamente subespaços definidos por equações lineares homogêneas e o Teorema da Dimensão (ou Teorema da Base e Dimensão).

Passo 2

Observamos as três equações lineares homogêneas em \mathbb{R}^{14}\): \[\begin{cases} x_{5}-x_{1}=0,\\\ x_{3}-x_{9}=0,\\\ x_{3}+x_{5}-x_{9}-x_{1}=0. \end{cases}
Podemos pensar nelas como um sistema A\,x=0\], onde \(A tem três linhas.

Passo 3

Verificamos se há dependência entre essas equações. Somando a primeira com a segunda:
(x_{5}-x_{1}) + (x_{3}-x_{9}) = x_{3}+x_{5}-x_{9}-x_{1},
vemos que a terceira equação é combinação linear das duas primeiras. Logo, apenas duas delas são linearmente independentes.

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão, se temos n=14 variáveis e r equações independentes, então
\dim S = n - r.
Aqui r=2, pois só há duas equações independentes.

Resposta

\dim S = 14 - 2 = 12.

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