Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto
é um subespaço vetorial. II - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
III - O conjunto de todos
tais que
, onde
é uma matriz
é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I é verdadeira.
I - O conjunto
III - O conjunto de todos
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I é verdadeira.
Passo 1
O enunciado pede para identificar quais das afirmações sobre subespaços vetoriais em espaços
são verdadeiras. Lembrando que um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se, e somente se,
-
. -
. -
.
As afirmações são:
I – é subespaço.
II – O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é subespaço.
III – com
de ordem
é subespaço.
I –
II – O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é subespaço.
III –
Passo 2
Analisando I: o conjunto
não contém o vetor nulo
e não é fechado sob multiplicação escalar (por exemplo
). Logo I é falsa.
Passo 3
Analisando II: a solução de um sistema
com
é um conjunto afim que geralmente não contém
e não é fechado sob soma nem escalarização. Portanto II é falsa.
Passo 4
Analisando III: o conjunto
é o núcleo (nullspace) de
. Sabe-se que o núcleo de uma transformação linear é sempre subespaço, pois contém
e é fechado sob soma e escalarização. Logo III é verdadeira.
Resposta
(D) Apenas III é verdadeira.