Q11: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto \{(1,1,1,1)\} \subset \mathbb{R}^{4} é um subespaço vetorial. II - O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é um subespaço vetorial.
III - O conjunto de todos \vec{v} \in \mathbb{R}^{9} tais que A \vec{v}=0, onde A é uma matriz 3 \times 9 é um subespaço vetorial.
(A) Apenas I e II são verdadeiras.
(B) Apenas I e III são verdadeiras.
(C) Todas são verdadeiras.
(D) Apenas III é verdadeira.
(E) Todas são falsas.
(F) Apenas II e III são verdadeiras.
(G) Apenas II é verdadeira.
(H) Apenas I é verdadeira.

Passo 1

O enunciado pede para identificar quais das afirmações sobre subespaços vetoriais em espaços \mathbb{R}^n são verdadeiras. Lembrando que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e somente se,
  1. \mathbf{0}\in W.
  2. u,v\in W\implies u+v\in W.
  3. u\in W,\;\lambda\in\mathbb{R}\implies \lambda u\in W.
As afirmações são:
I – \{(1,1,1,1)\}\subset\mathbb{R}^4 é subespaço.
II – O conjunto-solução de um sistema linear não-homogêneo é subespaço.
III – \{\vec v\in\mathbb{R}^9\mid A\vec v=0\} com A de ordem 3\times9 é subespaço.

Passo 2

Analisando I: o conjunto \{(1,1,1,1)\} não contém o vetor nulo (0,0,0,0) e não é fechado sob multiplicação escalar (por exemplo 2(1,1,1,1)\notin\{(1,1,1,1)\}). Logo I é falsa.

Passo 3

Analisando II: a solução de um sistema A\vec x=\vec b com \vec b\neq\vec0 é um conjunto afim que geralmente não contém \vec0 e não é fechado sob soma nem escalarização. Portanto II é falsa.

Passo 4

Analisando III: o conjunto \{\vec v\in\mathbb{R}^9\mid A\vec v=0\} é o núcleo (nullspace) de A. Sabe-se que o núcleo de uma transformação linear é sempre subespaço, pois contém \vec0 e é fechado sob soma e escalarização. Logo III é verdadeira.

Resposta

(D) Apenas III é verdadeira.

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