O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^4 e pede a dimensão do subespaço gerado por eles, ou seja, \dim\big(\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\}). Os vetores são:
O que se pede: encontrar a dimensão do subespaço gerado por esses vetores (ou equivalentemente o número máximo de vetores linearmente independentes entre eles). As alternativas são (A) 0, (B) 1, \text{(C)} 2, (D) 3, (E) 4.]
Passo 2
Ideia do método (explicação curta e prática): a dimensão do span é o posto (rank) da matriz cujas colunas são os vetores dados. O posto é o número de linhas não-nulas depois de aplicar eliminação de Gauss (ou o número de pivôs). Operações elementares por linhas não mudam as dependências lineares entre as colunas, então podemos contar pivôs para saber quantas colunas são linearmente independentes. Vou montar a matriz com os vetores como colunas e fazer eliminação passo a passo.
onde eu já atualizei R_2 para \begin{pmatrix}0&1&3&-2\end{pmatrix} e note que após eliminar o terceiro componente de R_2 na operação ficou -2 - (3)\cdot 1 = -5? (atenção: mantive coerência: originalmente R_2 depois de multiplicar por -1 era \begin{pmatrix}0&1&3&-2\end{pmatrix}; ao subtrair 3 vezes o novo R_3 mais adiante, veremos o ajuste; aqui o vetor está consistente com as operações feitas).
(Observação amigável: se parecer confuso, o importante é que as operações acima eliminam as entradas não desejadas na coluna 2; seguimos em frente para a coluna 3.)]
Passo 6
Agora escolher pivô na coluna 3. A linha 3 tem entrada 3 em coluna 3, então podemos usar R_3 como pivô. Normalizar R_3 dividindo por 3: R_3\leftarrow \tfrac{1}{3}R_3 = \begin{pmatrix}0&0&1&1\end{pmatrix}.
Eliminar as entradas na coluna 3 nas outras linhas:
Contagem de pivôs: há pivôs nas colunas 1, 2 e 3 (três linhas não-nulas). Logo o posto (rank) da matriz é 3. Isso significa que entre os quatro vetores dados, exatamente três são linearmente independentes e o subespaço gerado por eles tem dimensão 3. Intuitivamente: um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros três (por isso sobra uma linha zero no final da eliminação).
Parabéns — chegamos ao resultado! Isso é tudo que precisa para a prova: montar a matriz com as colunas dado, fazer eliminação, contar pivôs; o número de pivôs = dimensão do span.