Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LI, então
não tem solução.
II. Se
é LD, então
pode ter solução única.
III. Se
é LD, então
tem infinitas solução.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado dá
e os dois sistemas (matriz aumentada)
As três afirmativas a verificar são:
I. Se é LI, então
não tem solução.
II. Se é LD, então
pode ter solução única.
III. Se é LD, então
tem infinitas solução.
I. Se
II. Se
III. Se
Lista de informações relevantes dadas:
-
é um conjunto de três vetores em . -
é o sistema homogêneo cujas incógnitas são coeficientes tal que . -
é o sistema (não-homogêneo) cujas incógnitas são tal que . - As afirmações I–III pedem para avaliar verdade/falsidade em função de
ser linearmente independente (LI) ou dependente (LD).
Passo 2
Definições e ideias essenciais (explicadas devagar):
- Dizemos que
é linearmente independente (LI) quando a única solução do sistema homogêneo
é
. Em palavras: nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
- Dizemos que
é linearmente dependente (LD) quando existe uma combinação linear não trivial que dá zero, ou seja, existem coeficientes não todos zero tais que
Isso implica que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.
- Observação sobre sistemas homogêneos: um sistema homogêneo (como
) sempre tem pelo menos a solução trivial; se além dela existe alguma solução não trivial então há infinitas soluções (porque se houver pelo menos um parâmetro livre, varia-se e obtêm-se uma família infinita). Logo, para um sistema homogêneo, “solução única” significa exatamente “apenas a solução trivial”.
Passo 3
Interpretar
e
em termos de span e representações:
-
corresponde a buscar coeficientes tais que
Logo, a existência de solução não trivial em
é exatamente a definição de
ser LD.
-
corresponde a buscar tais que
isto é, verificar se
pertence ao subespaço gerado por
e
:
. Se existir solução, o número de soluções depende se
são LI ou LD:
- Se
são LI (dois vetores independentes), então qualquer representação de um vetor como combinação é única. - Se
são LD (ou seja, colineares), então a equação (quando tem solução) geralmente admite infinitas soluções, porque há um grau de liberdade entre e .
Passo 4
Analise da afirmativa I: “Se
é LI, então
não tem solução.”
- Suponha
LI. Se tivesse solução com
então reescrevendo,
Essa é uma combinação linear dos três vetores que resulta no vetor zero, com coeficientes
. Como
é LI, a única combinação que dá zero é a trivial, logo todos os coeficientes deveriam ser zero; mas o terceiro coeficiente aqui é
, contradição. Portanto
não pode ter solução. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 5
Analise da afirmativa II: “Se
é LD, então
pode ter solução única.”
- Lembrete:
é o homogêneo . - Se
é LD então, por definição, existe solução não trivial para esse sistema. Portanto o sistema homogêneo tem pelo menos uma solução além da trivial. Para sistemas lineares homogêneos, ou só a solução trivial (única) ou há infinitas soluções; não é possível ter exatamente uma solução não trivial. Logo, se é LD então NÃO pode ter solução única. Conclusão: a afirmativa II é falsa.
Passo 6
Analise da afirmativa III: “Se
é LD, então
tem infinitas solução.”
- Vamos checar possibilidades:
LD só garante que existe alguma relação linear entre os três vetores, mas há casos diferentes: - Caso A: a dependência envolve
com coeficiente não nulo; então pode ser escrito como combinação de . Nesse caso tem pelo menos uma solução. Se, além disso, forem LI, essa solução será única; se forem LD, pode haver infinitas soluções. Então neste caso pode ter solução única ou infinitas, dependendo dos vetores. - Caso B: a dependência não envolve
(por exemplo com e coeficiente de igual a zero). Então são dependentes, mas pode estar fora do span . Nesse caso NÃO tem solução.
- Caso A: a dependência envolve
- Assim, quando
é LD, pode ter zero soluções, uma solução única ou infinitas soluções — tudo depende da forma da dependência. Portanto a afirmação “então tem infinitas solução” não é sempre verdadeira. Conclusão: a afirmativa III é falsa.
Para ficar mais concreto, exemplos rápidos (intuitivos):
- Exemplo que torna III falsa (nenhuma solução): tome
e linearmente independente desses (por exemplo outra direção). Então é LD (porque ), mas não tem solução porque não está em (que é uma reta). - Exemplo que dá solução única: tome
LI e combinação deles (por exemplo ). Então é LD e tem solução única. - Exemplo que dá infinitas soluções: tome
e . Então é LD e se compatível, tem infinitas soluções (uma família linear de ).
Passo 7
Resumo das três afirmativas com as conclusões:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é falsa.
Portanto, apenas I é verdadeira.
Resposta
(F)