Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{5} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right]
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
II. Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.
III. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
(A) Só I e II são verdadeiras.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I é verdadeira.
(G) Só I e III são verdadeiras.
(H) Só II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado dá \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{5} e os dois sistemas (matriz aumentada)
S_{1}:\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\mid\overrightarrow{0}\end{array}\right]
S_{2}:\left[\begin{array}{ll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\mid\vec{v}_{3}\end{array}\right]
As três afirmativas a verificar são:
I. Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
II. Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.
III. Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.
Lista de informações relevantes dadas:
  • \beta é um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^{5}.
  • S_{1} é o sistema homogêneo cujas incógnitas são coeficientes c_{1},c_{2},c_{3} tal que c_{1}\vec v_{1}+c_{2}\vec v_{2}+c_{3}\vec v_{3}=\vec 0.
  • S_{2} é o sistema (não-homogêneo) cujas incógnitas são x,y tal que x\vec v_{1}+y\vec v_{2}=\vec v_{3}.
  • As afirmações I–III pedem para avaliar verdade/falsidade em função de \beta ser linearmente independente (LI) ou dependente (LD).

Passo 2

Definições e ideias essenciais (explicadas devagar):
  • Dizemos que \beta é linearmente independente (LI) quando a única solução do sistema homogêneo
c_{1}\vec v_{1}+c_{2}\vec v_{2}+c_{3}\vec v_{3}=\vec 0
é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Em palavras: nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  • Dizemos que \beta é linearmente dependente (LD) quando existe uma combinação linear não trivial que dá zero, ou seja, existem coeficientes não todos zero tais que
\alpha_{1}\vec v_{1}+\alpha_{2}\vec v_{2}+\alpha_{3}\vec v_{3}=\vec 0.
Isso implica que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros.
  • Observação sobre sistemas homogêneos: um sistema homogêneo (como S_{1}) sempre tem pelo menos a solução trivial; se além dela existe alguma solução não trivial então há infinitas soluções (porque se houver pelo menos um parâmetro livre, varia-se e obtêm-se uma família infinita). Logo, para um sistema homogêneo, “solução única” significa exatamente “apenas a solução trivial”.

Passo 3

Interpretar S_{1} e S_{2} em termos de span e representações:
  • S_{1} corresponde a buscar coeficientes (c_{1},c_{2},c_{3}) tais que
c_{1}\vec v_{1}+c_{2}\vec v_{2}+c_{3}\vec v_{3}=\vec 0.
Logo, a existência de solução não trivial em S_{1} é exatamente a definição de \beta ser LD.
  • S_{2} corresponde a buscar (x,y) tais que
x\vec v_{1}+y\vec v_{2}=\vec v_{3},
isto é, verificar se \vec v_{3} pertence ao subespaço gerado por \vec v_{1} e \vec v_{2}: \vec v_{3}\in\operatorname{span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\}. Se existir solução, o número de soluções depende se \vec v_{1},\vec v_{2} são LI ou LD:
  • Se \vec v_{1},\vec v_{2} são LI (dois vetores independentes), então qualquer representação de um vetor como combinação x\vec v_{1}+y\vec v_{2} é única.
  • Se \vec v_{1},\vec v_{2} são LD (ou seja, colineares), então a equação x\vec v_{1}+y\vec v_{2}=\vec v_{3} (quando tem solução) geralmente admite infinitas soluções, porque há um grau de liberdade entre x e y.

Passo 4

Analise da afirmativa I: “Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.”
  • Suponha \beta LI. Se S_{2} tivesse solução (x,y) com
x\vec v_{1}+y\vec v_{2}=\vec v_{3},
então reescrevendo,
x\vec v_{1}+y\vec v_{2}-1\cdot\vec v_{3}=\vec 0.
Essa é uma combinação linear dos três vetores que resulta no vetor zero, com coeficientes (x,y,-1). Como \beta é LI, a única combinação que dá zero é a trivial, logo todos os coeficientes deveriam ser zero; mas o terceiro coeficiente aqui é -1\neq 0, contradição. Portanto S_{2} não pode ter solução. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 5

Analise da afirmativa II: “Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.”
  • Lembrete: S_{1} é o homogêneo c_{1}\vec v_{1}+c_{2}\vec v_{2}+c_{3}\vec v_{3}=\vec 0.
  • Se \beta é LD então, por definição, existe solução não trivial para esse sistema. Portanto o sistema homogêneo tem pelo menos uma solução além da trivial. Para sistemas lineares homogêneos, ou só a solução trivial (única) ou há infinitas soluções; não é possível ter exatamente uma solução não trivial. Logo, se \beta é LD então S_{1} NÃO pode ter solução única. Conclusão: a afirmativa II é falsa.

Passo 6

Analise da afirmativa III: “Se \beta é LD, então S_{2} tem infinitas solução.”
  • Vamos checar possibilidades: \beta LD só garante que existe alguma relação linear entre os três vetores, mas há casos diferentes:
    • Caso A: a dependência envolve \vec v_{3} com coeficiente não nulo; então \vec v_{3} pode ser escrito como combinação de \vec v_{1},\vec v_{2}. Nesse caso S_{2} tem pelo menos uma solução. Se, além disso, \vec v_{1},\vec v_{2} forem LI, essa solução será única; se \vec v_{1},\vec v_{2} forem LD, pode haver infinitas soluções. Então neste caso S_{2} pode ter solução única ou infinitas, dependendo dos vetores.
    • Caso B: a dependência não envolve \vec v_{3} (por exemplo \alpha_{1}\vec v_{1}+\alpha_{2}\vec v_{2}=\vec 0 com \alpha_{1},\alpha_{2}\neq0 e coeficiente de \vec v_{3} igual a zero). Então \vec v_{1},\vec v_{2} são dependentes, mas \vec v_{3} pode estar fora do span \{\vec v_{1},\vec v_{2}\}. Nesse caso S_{2} NÃO tem solução.
  • Assim, quando \beta é LD, S_{2} pode ter zero soluções, uma solução única ou infinitas soluções — tudo depende da forma da dependência. Portanto a afirmação “então S_{2} tem infinitas solução” não é sempre verdadeira. Conclusão: a afirmativa III é falsa.
Para ficar mais concreto, exemplos rápidos (intuitivos):
  • Exemplo que torna III falsa (nenhuma solução): tome \vec v_{1}=\vec v_{2}\neq\vec 0 e \vec v_{3} linearmente independente desses (por exemplo outra direção). Então \beta é LD (porque \vec v_{1}-\vec v_{2}=\vec 0), mas S_{2} não tem solução porque \vec v_{3} não está em \operatorname{span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\} (que é uma reta).
  • Exemplo que dá solução única: tome \vec v_{1},\vec v_{2} LI e \vec v_{3} combinação deles (por exemplo \vec v_{3}=\vec v_{1}+\vec v_{2}). Então \beta é LD e S_{2} tem solução única.
  • Exemplo que dá infinitas soluções: tome \vec v_{2}=\lambda\vec v_{1} e \vec v_{3}=\mu\vec v_{1}. Então \beta é LD e se \mu compatível, S_{2} tem infinitas soluções (uma família linear de (x,y)).

Passo 7

Resumo das três afirmativas com as conclusões:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é falsa.
Portanto, apenas I é verdadeira.

Resposta

(F)

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