Q13: Sejam \vec{u}=(5,-5), \vec{v}=(1,-2) e \vec{w}=\vec{u}+k \vec{v}.
Assinale o valor de k para que \vec{w} seja ortogonal a \vec{v}.
(A) -3
(B) 3
(C) -2
(D) -1
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores \vec{u}=(5,-5), \vec{v}=(1,-2) e define \vec{w}=\vec{u}+k\vec{v}. Pede o valor de k para que \vec{w} seja ortogonal a \vec{v}. Vamos usar a condição de ortogonalidade baseada no produto escalar.

Passo 2

Para vetores ortogonais, o produto escalar é zero, isto é,
\vec{w}\cdot\vec{v} = 0.
Como \vec{w}=\vec{u}+k\vec{v}, temos
(\vec{u}+k\vec{v})\cdot\vec{v} = \vec{u}\cdot\vec{v} + k\,(\vec{v}\cdot\vec{v}) = 0.

Passo 3

Calculemos cada produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{v} = 5\cdot1 + (-5)\cdot(-2) = 5 + 10 = 15,
\vec{v}\cdot\vec{v} = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5.
Substituindo em \,15 + 5k = 0, obtemos
5k = -15 \quad\Longrightarrow\quad k = -3.

Resposta

(A)

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