Q14: Considere A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & -2 \\\\ 1 & 0 & -4 \\\\ -1 & 3 & -1\end{array}\right]. Calcule B=A^{-1}.
O valor de b_{11} é:
(A) 10
(B) 11
(C) 12
(D) 13
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\\\ 1 & 0 & -4\\\\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}
e pede o elemento b_{11} da matriz inversa B = A^{-1}. Para isso, vamos usar a fórmula
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta de A.

Passo 2

Calculamos primeiro \det(A) expandindo pela primeira linha:
\det(A) = 1\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -4\\\ 3 & -1\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -4\\\ -1 & -1\end{pmatrix} +(-2)\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\ -1 & 3\end{pmatrix}.
Agora cada subdeterminante:
\det\begin{pmatrix}0 & -4\\\ 3 & -1\end{pmatrix} = 0\cdot(-1)-(-4)\cdot3 = 12,
\det\begin{pmatrix}1 & -4\\\ -1 & -1\end{pmatrix} = 1\cdot(-1)-(-4)\cdot(-1) = -1-4 = -5,
\det\begin{pmatrix}1 & 0\\\ -1 & 3\end{pmatrix} = 1\cdot3 - 0\cdot(-1) = 3.
Substituindo,
\det(A) = 1\cdot12 -(-1)\cdot(-5) +(-2)\cdot3 = 12 -5 -6 = 1.

Passo 3

O elemento b_{11} é dado por
b_{11} = \frac{1}{\det(A)}C_{11},
onde C_{11} é o cofator de a_{11}. Como \det(A)=1, basta calcular C_{11}. O cofator C_{11} é
C_{11} = (+1)^{1+1} \det\begin{pmatrix}0 & -4\\\ 3 & -1\end{pmatrix} = 1\cdot12 = 12.

Passo 4

Portanto
b_{11} = \frac{1}{1}\cdot12 = 12.

Resposta

(C) 12

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