Q13.8 Você é capturado por marcianos, levado para a nave deles e posto para dormir. Você acorda algum tempo depois e se vê trancado em uma sala pequena, sem janelas. Tudo o que os marcianos lhe deixaram é seu relógio digital de pulso, o anel que usava e sua longa corrente de prata. Explique como você pode verificar se ainda está na Terra ou se foi levado para Marte.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (resumindo bem claro):
- Objetos disponíveis: um relógio digital de pulso (para medir tempo), um anel e uma longa corrente de prata.
- Ambiente: sala pequena, sem janelas, trancado (ou seja, sem acesso a uma régua ou instrumentos extras).
- Objetivo: explicar um procedimento que permita verificar se se está na Terra ou em Marte usando só esses itens.
O enunciado pede uma explicação de como proceder para saber em qual planeta se está. Não pede necessariamente calcular valores muuuuito precisos, só um método confiável para distinguir as duas gravidades (que diferem bastante).
Passo 2
Ideia geral escolhida (sem fórmulas ainda): construir um pêndulo simples usando o anel como peso e a corrente como fio, cronometrar as oscilações com o relógio e a partir do período inferir a aceleração da gravidade
. Por que esse método é bom:
- Usa apenas os objetos disponíveis (anel + corrente + relógio).
- Mede diretamente a resposta ao campo gravitacional local (o período do pêndulo depende de
). - A diferença entre
na Terra e em Marte é grande (Terra ≈ m/s , Marte ≈ m/s ), então não é preciso altíssima precisão para distinguir os dois casos.
Passo 3
Como montar o experimento passo a passo (prático, “mão na massa”):
- Segure firme a ponta da corrente num ponto fixo (um prego, uma saliência, ou simplesmente entre os dedos/uma fechadura do teto ou luminária — precisa um ponto de suspensão estável).
- Pendure o anel na outra extremidade da corrente de modo que o anel fique razoavelmente pontual (como um pequeno corpo) e a corrente forme o fio do pêndulo.
- Meça mentalmente (ou com o corpo: braço esticado, antebraço, etc.) o comprimento do pêndulo
— isto é, a distância do ponto de suspensão até o centro do anel. Não é crucial ser exato em centímetros se a diferença entre as gravidades for grande, mas anote uma estimativa (por exemplo: cerca de m, se a corrente for longa). - Desvie o anel lateralmente uma pequena amplitude (alguns graus, não mais do que
– ; quanto menor a amplitude, melhor a aproximação que vamos usar) e solte sem empurrar. - Use o relógio digital para cronometrar muitas oscilações consecutivas: por exemplo, conte
oscilações (vai e volta conta como uma oscilação) e registre o tempo total em segundos. É melhor cronometrar um número grande (por exemplo a ) para reduzir erro de cronometragem. - A média do período é
Dica prática de contagem: marque o início quando o anel passar por um ponto (por exemplo o centro) em direção a um lado e conte cada vez que ele passe por esse mesmo ponto no mesmo sentido.
Passo 4
A física útil (explicação didática e curta de onde vem a fórmula que vamos usar):
- Para pequenas oscilações, um pêndulo simples (massa pontual na ponta de um fio de comprimento
) executa movimento harmônico simples com período dado por
Expliquei cada símbolo:
-
é o período (tempo de uma oscilação completa) em segundos. -
é o comprimento do pêndulo, em metros (distância do ponto de suspensão ao centro de massa do anel). -
é a aceleração da gravidade local, em m/s .
Por que isso vale (resumido): para pequenas oscilações a força restauradora é proporcional ao deslocamento angular, o que produz uma equação do tipo; daí surge e .
Passo 5
Como extrair
do experimento e o que comparar para decidir Terra vs Marte:
- Depois de medir
e ter estimado , calcule isolando na fórmula:
Expliquei: multiplica por
e divide por
. Use
em metros e
em segundos — então
sairá em m/s
.
2. Compare o valor obtido com os valores típicos: (Terra) e
(Marte). Se
estiver próximo de
— definitivamente Terra; se estiver perto de
— definitivamente Marte. A diferença é grande (fator ≈
em
), então mesmo com erros modestos você detecta facilmente.
Exemplo numérico ilustrativo (sem necessidade de régua exata): se m, então
2. Compare o valor obtido com os valores típicos:
Exemplo numérico ilustrativo (sem necessidade de régua exata): se
Logo, para o mesmo pêndulo, o período em Marte seria cerca de
vezes maior que na Terra — fácil de perceber contando oscilações em um intervalo de, digamos,
s.
Passo 6
Como reduzir erros e conselhos práticos (para ficar mais confiável na hora da “prova”):
- Cronometre muitas oscilações (maior
) e divida; isso reduz erro humano de apertar o botão. - Use amplitude pequena (
) para que a fórmula valha bem. - Pendure o anel de forma que ele não gire e que o fio (corrente) fique o mais vertical possível; idealmente trate o anel como uma massa concentrada.
- Evite correntes muito elásticas ou muito frouxas que mudem o comprimento durante a medida.
- Se não souber medir
em metros, ainda é possível distinguir por contagem pura: com uma corrente de cerca de m, na Terra você deve ver ~15 oscilações em s; em Marte verá ~9 oscilações em s. A diferença é óbvia. - Se quiser ser formal e calcular
, use uma estimativa do comprimento em metros (por ex.: medir com o próprio corpo e lembrar sua altura conhecida em metros, ou dividir a corrente em partes que se sabe aproximadamente quantas vezes cabem num braço, etc.).
Passo 7
Interpretação final dos resultados (como decidir, palavras simples e encorajadoras):
- Se a medição der
aproximadamente ou o número de oscilações em um intervalo conhecido for compatível com períodos da ordem de s (para m), então está na Terra. - Se der
aproximadamente ou o período for muito maior (por exemplo, s para m, e você contar bem menos oscilações no mesmo tempo), então está em Marte.
Não se preocupe: o contraste é grande, então o experimento caseiro com anel + corrente + relógio é suficiente.
Resposta
Faça um pêndulo com a corrente e o anel, cronometre
oscilações com o relógio para obter
, calcule
e compare com
(Terra) e
(Marte). Se
então Terra; se
então Marte.