Q13.4 Uma caixa contendo uma pedrinha é presa a uma mola ideal horizontal e está oscilando em uma mesa de ar sem atrito. Quando a caixa atinge sua distância máxima do ponto de equilíbrio, a pedrinha é subitamente içada na vertical sem que a caixa seja movida. Diga quais das seguintes grandezas aumentarão, diminuirão ou permanecerão inalteradas no movimento subsequente da caixa: (a) frequência; (b) período; (c) amplitude; (d) a energia cinética máxima da caixa; (e) a velocidade máxima da caixa. Justifique cada resposta.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte cenário e pede para analisar o efeito da operação descrita sobre cinco grandezas:
  • Uma caixa com uma pedrinha (isto é, massa total inicial \,m_1) está presa a uma mola ideal horizontal de constante elástica \,k e oscila sobre uma mesa sem atrito.
  • Quando a caixa está na distância máxima do ponto de equilíbrio (ou seja, no extremo da oscilação, posição x=+A ou x=-A), a pedrinha é subitamente içada verticalmente sem que a caixa se mova. Após isso a caixa oscila sozinha com massa menor \,m_2 (onde \,m_2<m_1).
    As perguntas são: o que acontece com cada uma das seguintes grandezas no movimento subsequente da caixa — aumentam, diminuem ou permanecem inalteradas?
    (a) frequência; (b) período; (c) amplitude; (d) energia cinética máxima da caixa; (e) velocidade máxima da caixa.

Passo 2

Relembrando a teoria básica do oscilador massa-mola (mais passo a passo, sem pular etapas):
  • Para uma massa \,m ligada a uma mola de constante \,k e sem atrito, o movimento é harmônico simples com frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui \,\omega tem unidade rad/s, \,k é a constante da mola (N/m) e \,m é a massa (kg).
  • A frequência (ciclos por segundo) é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}.
  • O período (tempo de um ciclo) é
T=\frac{1}{f}=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Essas fórmulas mostram claramente a dependência da frequência e do período com a massa: f\propto 1/\sqrt{m} e T\propto\sqrt{m}. Vou usar isso para comparar antes ( m_1) e depois ( m_2) da retirada da pedrinha.

Passo 3

Olhemos o instante em que a pedrinha é içada:
  • O enunciado diz que a retirada ocorre quando a caixa está na distância máxima do ponto de equilíbrio, ou seja a caixa está no extremo da oscilação. Nesse instante a velocidade da caixa é zero: \,v=0.
  • A posição da caixa nesse instante é \,x=\pm A, onde \,A é a amplitude naquele momento.
  • A energia mecânica do oscilador (quando está no extremo) é totalmente energia elástica da mola:
E=\frac{1}{2}\,kA^{2}.
  • A retirada da pedrinha é feita verticalmente sem que a caixa seja movida. Assim, no instante imediatamente após a retirada:
    • a posição horizontal da caixa não mudou (continua em \,x=\pm A);
    • a velocidade horizontal da caixa continua \,v=0;
    • a compressão/elongação da mola não mudou, portanto a energia elástica \frac{1}{2}kA^{2} armazenada na mola não mudou instantaneamente.
      Além disso, como a mesa é sem atrito e a pedrinha foi levantada verticalmente, não houve interação que faça trabalho horizontal sobre a caixa-mola; portanto a energia do grau de liberdade horizontal não foi alterada no instante da retirada.

Passo 4

Efeito sobre frequência e período:
  • Antes da retirada a frequência era
f_1=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_1}}.
  • Depois, com a massa reduzida para \,m_2, a nova frequência é
f_2=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m_2}}.
Como \,m_2<m_1, temos \sqrt{1/m_2}>\sqrt{1/m_1}. Logo
f_2>f_1.
Portanto a frequência aumenta.
  • Para o período, como T=1/f e T\propto\sqrt{m}, temos
T_1=2\pi\sqrt{\frac{m_1}{k}},\qquad T_2=2\pi\sqrt{\frac{m_2}{k}}
e, dado \,m_2<m_1,
T_2<T_1.
Portanto o período diminui.

Passo 5

Efeito sobre a amplitude:
  • A amplitude é a separação máxima em relação ao ponto de equilíbrio. No instante da retirada a caixa estava exatamente na posição de amplitude \,x=\pm A e não houve deslocamento horizontal durante a retirada, nem impulso horizontal (a retirada foi vertical). Além disso, em um sistema massa-mola horizontal sem peso atuando na direção do movimento, a posição de equilíbrio horizontal não depende da massa (é a posição onde a mola não está deformada mais além da sua posição de repouso relativa ao apoio), portanto não houve mudança da posição de equilíbrio horizontal por causa da retirada vertical da pedrinha.
  • Como a posição e a posição de equilíbrio permaneceram as mesmas no instante da retirada, a amplitude da oscilação subsequente permanece igual a \,A.
    Conclusão: a amplitude permanece inalterada.

Passo 6

Efeito sobre a energia cinética máxima:
  • A energia mecânica total do oscilador horizontal é conservada (não houve trabalho horizontal externo) e é dada por
E=\frac{1}{2}kA^{2}.
  • A energia cinética máxima ocorre quando a massa passa pelo ponto de equilíbrio; nessa ocasião toda a energia é cinética, então
K_{\max}=E=\frac{1}{2}kA^{2}.
  • Note que essa expressão não contém a massa m: é independente de m. Antes da retirada já se tinha K_{\max}=\tfrac{1}{2}kA^{2}; depois da retirada a energia elástica inicial é a mesma e converte-se integralmente em energia cinética no equilíbrio, portanto o valor numérico de K_{\max} continua sendo \tfrac{1}{2}kA^{2}.
    Conclusão: a energia cinética máxima da caixa permanece inalterada.

Passo 7

Efeito sobre a velocidade máxima:
  • A velocidade máxima está relacionada à energia e à massa por
K_{\max}=\frac{1}{2}m v_{\max}^{2}.
  • Usando K_{\max}=\tfrac{1}{2}kA^{2} e isolando v_{\max},
v_{\max}=\sqrt{\frac{k}{m}}\,A=\omega A.
  • Como vimos no Passo 4, com a redução da massa a frequência angular \omega=\sqrt{k/m} aumenta. A amplitude \,A permanece igual. Logo v_{\max}=\omega A aumenta quando \,m diminui.
  • Verificação consistente: apesar de v_{\max} aumentar, K_{\max}=\tfrac{1}{2}m v_{\max}^{2}=\tfrac{1}{2}kA^{2} permanece o mesmo porque o aumento de v_{\max} compensa a diminuição de m.
    Conclusão: a velocidade máxima da caixa aumenta.

Passo 8

Resumo físico e intuição (um jeitinho de lembrar no dia da prova):
  • Retirar massa num instante em que a velocidade é zero e sem aplicar força horizontal não muda a deformação da mola nem o saldo energético do grau de liberdade horizontal. Portanto a energia e a amplitude ficam iguais.
  • Diminuir a massa faz o oscilador ficar “mais rápido”: \omega=\sqrt{k/m} aumenta, logo f aumenta e T diminui; como v_{\max}=\omega A, a velocidade máxima aumenta; mas como K_{\max}=\tfrac{1}{2}kA^{2} independe de m, a energia cinética máxima permanece a mesma.

Resposta

(a) Aumenta.
(b) Diminui.
(c) Permanece inalterada.
(d) Permanece inalterada.
(e) Aumenta.

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