Q13.4 Uma caixa contendo uma pedrinha é presa a uma mola ideal horizontal e está oscilando em uma mesa de ar sem atrito. Quando a caixa atinge sua distância máxima do ponto de equilíbrio, a pedrinha é subitamente içada na vertical sem que a caixa seja movida. Diga quais das seguintes grandezas aumentarão, diminuirão ou permanecerão inalteradas no movimento subsequente da caixa: (a) frequência; (b) período; (c) amplitude; (d) a energia cinética máxima da caixa; (e) a velocidade máxima da caixa. Justifique cada resposta.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte cenário e pede para analisar o efeito da operação descrita sobre cinco grandezas:
- Uma caixa com uma pedrinha (isto é, massa total inicial
) está presa a uma mola ideal horizontal de constante elástica e oscila sobre uma mesa sem atrito. - Quando a caixa está na distância máxima do ponto de equilíbrio (ou seja, no extremo da oscilação, posição
ou ), a pedrinha é subitamente içada verticalmente sem que a caixa se mova. Após isso a caixa oscila sozinha com massa menor (onde ).
As perguntas são: o que acontece com cada uma das seguintes grandezas no movimento subsequente da caixa — aumentam, diminuem ou permanecem inalteradas?
(a) frequência; (b) período; (c) amplitude; (d) energia cinética máxima da caixa; (e) velocidade máxima da caixa.
Passo 2
Relembrando a teoria básica do oscilador massa-mola (mais passo a passo, sem pular etapas):
- Para uma massa
ligada a uma mola de constante e sem atrito, o movimento é harmônico simples com frequência angular
Aqui
tem unidade rad/s,
é a constante da mola (N/m) e
é a massa (kg).
- A frequência (ciclos por segundo) é
- O período (tempo de um ciclo) é
Essas fórmulas mostram claramente a dependência da frequência e do período com a massa:
e
. Vou usar isso para comparar antes (
) e depois (
) da retirada da pedrinha.
Passo 3
Olhemos o instante em que a pedrinha é içada:
- O enunciado diz que a retirada ocorre quando a caixa está na distância máxima do ponto de equilíbrio, ou seja a caixa está no extremo da oscilação. Nesse instante a velocidade da caixa é zero:
. - A posição da caixa nesse instante é
, onde é a amplitude naquele momento. - A energia mecânica do oscilador (quando está no extremo) é totalmente energia elástica da mola:
- A retirada da pedrinha é feita verticalmente sem que a caixa seja movida. Assim, no instante imediatamente após a retirada:
- a posição horizontal da caixa não mudou (continua em
); - a velocidade horizontal da caixa continua
; - a compressão/elongação da mola não mudou, portanto a energia elástica
armazenada na mola não mudou instantaneamente.
Além disso, como a mesa é sem atrito e a pedrinha foi levantada verticalmente, não houve interação que faça trabalho horizontal sobre a caixa-mola; portanto a energia do grau de liberdade horizontal não foi alterada no instante da retirada.
- a posição horizontal da caixa não mudou (continua em
Passo 4
Efeito sobre frequência e período:
- Antes da retirada a frequência era
- Depois, com a massa reduzida para
, a nova frequência é
Como
, temos
. Logo
Portanto a frequência aumenta.
- Para o período, como
e , temos
e, dado
,
Portanto o período diminui.
Passo 5
Efeito sobre a amplitude:
- A amplitude é a separação máxima em relação ao ponto de equilíbrio. No instante da retirada a caixa estava exatamente na posição de amplitude
e não houve deslocamento horizontal durante a retirada, nem impulso horizontal (a retirada foi vertical). Além disso, em um sistema massa-mola horizontal sem peso atuando na direção do movimento, a posição de equilíbrio horizontal não depende da massa (é a posição onde a mola não está deformada mais além da sua posição de repouso relativa ao apoio), portanto não houve mudança da posição de equilíbrio horizontal por causa da retirada vertical da pedrinha. - Como a posição e a posição de equilíbrio permaneceram as mesmas no instante da retirada, a amplitude da oscilação subsequente permanece igual a
.
Conclusão: a amplitude permanece inalterada.
Passo 6
Efeito sobre a energia cinética máxima:
- A energia mecânica total do oscilador horizontal é conservada (não houve trabalho horizontal externo) e é dada por
- A energia cinética máxima ocorre quando a massa passa pelo ponto de equilíbrio; nessa ocasião toda a energia é cinética, então
- Note que essa expressão não contém a massa
: é independente de . Antes da retirada já se tinha ; depois da retirada a energia elástica inicial é a mesma e converte-se integralmente em energia cinética no equilíbrio, portanto o valor numérico de continua sendo .
Conclusão: a energia cinética máxima da caixa permanece inalterada.
Passo 7
Efeito sobre a velocidade máxima:
- A velocidade máxima está relacionada à energia e à massa por
- Usando
e isolando ,
- Como vimos no Passo 4, com a redução da massa a frequência angular
aumenta. A amplitude permanece igual. Logo aumenta quando diminui. - Verificação consistente: apesar de
aumentar, permanece o mesmo porque o aumento de compensa a diminuição de .
Conclusão: a velocidade máxima da caixa aumenta.
Passo 8
Resumo físico e intuição (um jeitinho de lembrar no dia da prova):
- Retirar massa num instante em que a velocidade é zero e sem aplicar força horizontal não muda a deformação da mola nem o saldo energético do grau de liberdade horizontal. Portanto a energia e a amplitude ficam iguais.
- Diminuir a massa faz o oscilador ficar “mais rápido”:
aumenta, logo aumenta e diminui; como , a velocidade máxima aumenta; mas como independe de , a energia cinética máxima permanece a mesma.
Resposta
(a) Aumenta.
(b) Diminui.
(c) Permanece inalterada.
(d) Permanece inalterada.
(e) Aumenta.
(b) Diminui.
(c) Permanece inalterada.
(d) Permanece inalterada.
(e) Aumenta.