Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de
p(x)=4 x^{2}+x-2 na reta gerada por
q(x)=4 x-2.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 4 x^{2}+x-2 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 4 x-2 é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) 8 x-4
(B) 5 x-\frac{5}{2}
(C) 8 x^{2}+2 x-4
(D) 7 x-\frac{7}{2}
(E) 7 x^{2}+\frac{7 x}{4}-\frac{7}{2}
(F) 5 x^{2}+\frac{5 x}{4}-\frac{5}{2}
(G) 6 x^{2}+\frac{3 x}{2}-3
(H) 6 x-3

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Temos o espaço vetorial dos polinômios reais de grau ≤ 2, com o produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)\,q(x)\,dx.
  • O polinômio a ser projetado é \displaystyle p(x)=4x^{2}+x-2.
  • A reta (subespaço unidimensional) na qual vamos projetar é a gerada por \displaystyle q(x)=4x-2, ou seja todos os múltiplos \lambda q(x).
  • A tarefa: encontrar a projeção ortogonal de p sobre a reta gerada por q; entre as alternativas A–H há a resposta correta.

Passo 2

Lembrete/resultado-chave (fórmula da projeção em uma reta): se projetamos p sobre a reta \mathrm{span}\{q\}, a projeção ortogonal é um múltiplo de q,
\mathrm{proj}_{\langle q\rangle} p = \alpha\, q,
onde o escalar \alpha é dado por
\alpha = \frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}.
Explicação didática: a condição que determina \alpha é que o erro p-\alpha q seja ortogonal a q, isto é \langle p-\alpha q,q\rangle=0. Desenvolvendo, obtemos \langle p,q\rangle - \alpha\langle q,q\rangle=0, daí \alpha=\langle p,q\rangle/\langle q,q\rangle. Isso é exatamente o mesmo que projetar vetores num espaço com produto interno padrão, só que aqui o produto interno é integral.

Passo 3

Vamos calcular \langle p,q\rangle. Primeiro multiplicamos os polinômios:
p(x)q(x)=(4x^{2}+x-2)(4x-2).
Fazendo a multiplicação termo a termo:
4x^{2}\cdot(4x-2)=16x^{3}-8x^{2},
x\cdot(4x-2)=4x^{2}-2x,
-2\cdot(4x-2)=-8x+4.
Somando as parcelas:
p(x)q(x)=16x^{3}+(-8x^{2}+4x^{2})+(-2x-8x)+4 = 16x^{3}-4x^{2}-10x+4.

Passo 4

Integrar de 0 a 1 para obter \langle p,q\rangle:
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} \big(16x^{3}-4x^{2}-10x+4\big)\,dx.
Integramos termo a termo (lembrando as primitivas: \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1)):
\int_{0}^{1}16x^{3}\,dx = 16\cdot\frac{1}{4}=4,
\int_{0}^{1}-4x^{2}\,dx = -4\cdot\frac{1}{3}=-\frac{4}{3},
\int_{0}^{1}-10x\,dx = -10\cdot\frac{1}{2}=-5,
\int_{0}^{1}4\,dx = 4.
Somando:
\langle p,q\rangle = 4 -\frac{4}{3} -5 +4 = 3 -\frac{4}{3} = \frac{5}{3}.

Passo 5

Agora calculamos \langle q,q\rangle:
q(x)^{2}=(4x-2)^{2}=16x^{2}-16x+4,
\langle q,q\rangle=\int_{0}^{1} (16x^{2}-16x+4)\,dx.
Integração termo a termo:
\int_{0}^{1}16x^{2}\,dx = 16\cdot\frac{1}{3}=\frac{16}{3},
\int_{0}^{1}-16x\,dx = -16\cdot\frac{1}{2}=-8,
\int_{0}^{1}4\,dx = 4.
Somando:
\langle q,q\rangle = \frac{16}{3} -8 +4 = \frac{16}{3} -4 = \frac{4}{3}.

Passo 6

Calculamos o coeficiente \alpha:
\alpha = \frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle} = \frac{\tfrac{5}{3}}{\tfrac{4}{3}} = \frac{5}{4}.
Portanto a projeção é
\mathrm{proj}_{\langle q\rangle} p = \alpha\, q(x) = \frac{5}{4}\,(4x-2).
Multiplicando:
\frac{5}{4}\cdot 4x = 5x,\qquad \frac{5}{4}\cdot(-2) = -\frac{5}{2},
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\mathrm{proj}_{\langle q\rangle} p(x) = 5x - \frac{5}{2}.
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa (B).

Resposta

(B) 5x-\frac{5}{2}

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