Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Temos o espaço vetorial dos polinômios reais de grau ≤ 2, com o produto interno
- O polinômio a ser projetado é
. - A reta (subespaço unidimensional) na qual vamos projetar é a gerada por
, ou seja todos os múltiplos . - A tarefa: encontrar a projeção ortogonal de
sobre a reta gerada por ; entre as alternativas A–H há a resposta correta.
Passo 2
Lembrete/resultado-chave (fórmula da projeção em uma reta): se projetamos
sobre a reta
, a projeção ortogonal é um múltiplo de
,
onde o escalar
é dado por
Explicação didática: a condição que determina
é que o erro
seja ortogonal a
, isto é
. Desenvolvendo, obtemos
, daí
. Isso é exatamente o mesmo que projetar vetores num espaço com produto interno padrão, só que aqui o produto interno é integral.
Passo 3
Vamos calcular
. Primeiro multiplicamos os polinômios:
Fazendo a multiplicação termo a termo:
Somando as parcelas:
Passo 4
Integrar de
a
para obter
:
Integramos termo a termo (lembrando as primitivas:
):
Somando:
Passo 5
Agora calculamos
:
Integração termo a termo:
Somando:
Passo 6
Calculamos o coeficiente
:
Portanto a projeção é
Multiplicando:
logo
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa (B).
Resposta
(B)