Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
não é um subespaço vetorial.
II - O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial III -
é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
II - O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial III -
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar as três afirmativas e escolher a alternativa correta entre as dadas. As afirmativas são:
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
não é um subespaço vetorial.
II - O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial.
III -
é subespaço vetorial.
Devemos decidir, para cada uma das três afirmativas, se é verdadeira ou falsa, e então escolher a opção correta entre: (A) Todas são falsas, (B) Só I é verdadeira, (C) Só II é verdadeira, (D) Só I e II são verdadeiras, (E) Só III é verdadeira, (F) Só I e III são verdadeiras, (G) Só II e III são verdadeiras.
Passo 2
Relembrando o conceito que vamos usar (passo-a-passo didático): o que é ser um subespaço vetorial?
Uma parte
de
é um subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades equivalentes (usarei a versão prática):
-
não é vazia e contém o vetor zero . -
é fechada sob soma: se e então . -
é fechada sob multiplicação por escalar: se e então .
Se qualquer uma dessas falhar, o conjunto não é subespaço. Essas condições são fáceis de aplicar em exercícios: primeiro verificar se
pertence; se não pertence, já deu ruim. Se pertence, verificar fechamento por soma e por escalar (às vezes são óbvios usando propriedades lineares).
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo
não é um subespaço vetorial.”
O conjunto solução de
é exatamente o núcleo (kernel) da transformação linear
. Vou mostrar que esse conjunto é sempre um subespaço:
- Primeiro,
está na solução porque . - Se
e são soluções, então e . Pela linearidade de temos
logo
também é solução (fechamento por soma).
- Se
é solução e , então
logo
também é solução (fechamento por escalar).
Portanto o conjunto solução de um sistema homogêneo é sempre subespaço vetorial. A afirmativa I diz o contrário, então I é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmativa II: “O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial.”
Primeiro, precisamos interpretar corretamente “reflexão”. Em álgebra linear, uma reflexão linear é uma transformação linear
que reflete vetores em relação a um subespaço (geralmente passando pela origem). Essas reflexões são transformações lineares — logo faz sentido falar em núcleo de
. Para qualquer transformação linear, o núcleo é o conjunto de vetores levados ao vetor zero, e como vimos esse núcleo (kernel) é sempre um subespaço vetorial.
Para ilustrar com um exemplo simples e concreto: reflexão em
em relação ao eixo
tem matriz
Resolver
dá
como única solução, então o núcleo é
, que é um subespaço vetorial (o subespaço trivial). Em outras reflexões o núcleo pode ser também apenas
(na maioria das reflexões lineares invertíveis o núcleo é
). Em todo caso, por se tratar de núcleo de transformação linear, ele é subespaço.
Portanto a afirmativa II, que nega isso, é falsa.
Observação útil (para evitar confusão): existe também o conceito de “reflexão afim” (por exemplo refletir em torno de uma reta que não passa pela origem) — essa operação é afim e não linear, e aí falar em “núcleo” não se aplica diretamente. Mas a maioria das questões em álgebra linear considera reflexões lineares (passando pela origem), e para elas o núcleo é subespaço. Mesmo sem entrar nessa nuance, a intenção aqui é a versão linear, então II é falsa.]
Passo 5
Analisando a afirmativa III: "
é subespaço vetorial."
Aplicamos os critérios do Passo 2. Primeiro verificamos se o vetor zero
pertence ao conjunto. Para
a condição exige
ou seja
, o que é falso. Portanto
esse conjunto. Como um subespaço deve conter o vetor zero, isso já basta para concluir que o conjunto não é subespaço vetorial.
Podemos também mostrar a falha em fechamento por escalar com um exemplo concreto: escolha
— esse vetor satisfaz
. Multiplique por
:
. Verifique a condição:
que dá
, falso. Logo não é fechado por multiplicação escalar. Isso confirma que a afirmação III é falsa.
Intuição: o conjunto é um plano afim paralelo a um plano que seria subespaço se o termo constante fosse zero; mas por ter o termo constante
é um plano deslocado (uma “reta/planeta afim”) que não passa pela origem — esses conjuntos não são subespaços.
Passo 6
Resumo das avaliações:
- I é falsa (o conjunto solução do homogêneo é subespaço).
- II é falsa (núcleo de transformação linear — incluindo reflexão linear — é subespaço, geralmente
). - III é falsa (o conjunto não contém
e não é fechado por escalares).
Assim, todas as três afirmativas são falsas.
Resposta
(A) Todas são falsas.