Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} não é um subespaço vetorial.
II - O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial III - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=5 z+5\right\} é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar as três afirmativas e escolher a alternativa correta entre as dadas. As afirmativas são:
I - O conjunto solução do sistema linear homogêneo \,A \vec{x}=\overrightarrow{0}\, não é um subespaço vetorial.
II - O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial.
III - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=5 z+5\right\} é subespaço vetorial.
Devemos decidir, para cada uma das três afirmativas, se é verdadeira ou falsa, e então escolher a opção correta entre: (A) Todas são falsas, (B) Só I é verdadeira, (C) Só II é verdadeira, (D) Só I e II são verdadeiras, (E) Só III é verdadeira, (F) Só I e III são verdadeiras, (G) Só II e III são verdadeiras.

Passo 2

Relembrando o conceito que vamos usar (passo-a-passo didático): o que é ser um subespaço vetorial?
Uma parte W de \mathbb{R}^n é um subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades equivalentes (usarei a versão prática):
  1. W não é vazia e contém o vetor zero \overrightarrow{0}.
  2. W é fechada sob soma: se \vec{u}\in W e \vec{v}\in W então \vec{u}+\vec{v}\in W.
  3. W é fechada sob multiplicação por escalar: se \vec{u}\in W e c\in\mathbb{R} então c\vec{u}\in W.
Se qualquer uma dessas falhar, o conjunto não é subespaço. Essas condições são fáceis de aplicar em exercícios: primeiro verificar se \overrightarrow{0} pertence; se não pertence, já deu ruim. Se pertence, verificar fechamento por soma e por escalar (às vezes são óbvios usando propriedades lineares).

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo \,A \vec{x}=\overrightarrow{0}\, não é um subespaço vetorial.”
O conjunto solução de \,A\vec{x}=\overrightarrow{0}\, é exatamente o núcleo (kernel) da transformação linear T(\vec{x})=A\vec{x}. Vou mostrar que esse conjunto é sempre um subespaço:
  • Primeiro, \overrightarrow{0} está na solução porque A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}.
  • Se \vec{x}_1 e \vec{x}_2 são soluções, então A\vec{x}_1=\overrightarrow{0} e A\vec{x}_2=\overrightarrow{0}. Pela linearidade de A temos
A(\vec{x}_1+\vec{x}_2)=A\vec{x}_1+A\vec{x}_2=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},
logo \vec{x}_1+\vec{x}_2 também é solução (fechamento por soma).
  • Se \vec{x} é solução e c\in\mathbb{R}, então
A(c\vec{x})=cA\vec{x}=c\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},
logo c\vec{x} também é solução (fechamento por escalar).
Portanto o conjunto solução de um sistema homogêneo é sempre subespaço vetorial. A afirmativa I diz o contrário, então I é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “O núcleo de uma reflexão não é subespaço vetorial.”
Primeiro, precisamos interpretar corretamente “reflexão”. Em álgebra linear, uma reflexão linear é uma transformação linear R:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n que reflete vetores em relação a um subespaço (geralmente passando pela origem). Essas reflexões são transformações lineares — logo faz sentido falar em núcleo de R. Para qualquer transformação linear, o núcleo é o conjunto de vetores levados ao vetor zero, e como vimos esse núcleo (kernel) é sempre um subespaço vetorial.
Para ilustrar com um exemplo simples e concreto: reflexão em \mathbb{R}^2 em relação ao eixo x tem matriz
R=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Resolver R\vec{v}=\overrightarrow{0} \vec{v}=\overrightarrow{0} como única solução, então o núcleo é \{\overrightarrow{0}\}, que é um subespaço vetorial (o subespaço trivial). Em outras reflexões o núcleo pode ser também apenas \{\overrightarrow{0}\} (na maioria das reflexões lineares invertíveis o núcleo é \{\overrightarrow{0}\}). Em todo caso, por se tratar de núcleo de transformação linear, ele é subespaço.
Portanto a afirmativa II, que nega isso, é falsa.
Observação útil (para evitar confusão): existe também o conceito de “reflexão afim” (por exemplo refletir em torno de uma reta que não passa pela origem) — essa operação é afim e não linear, e aí falar em “núcleo” não se aplica diretamente. Mas a maioria das questões em álgebra linear considera reflexões lineares (passando pela origem), e para elas o núcleo é subespaço. Mesmo sem entrar nessa nuance, a intenção aqui é a versão linear, então II é falsa.]

Passo 5

Analisando a afirmativa III: " \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid y=5 z+5\right\} é subespaço vetorial."
Aplicamos os critérios do Passo 2. Primeiro verificamos se o vetor zero \overrightarrow{0}=(0,0,0) pertence ao conjunto. Para (0,0,0) a condição exige
y=5z+5 \quad\Rightarrow\quad 0 = 5\cdot 0 + 5,
ou seja 0=5, o que é falso. Portanto \overrightarrow{0}\notin esse conjunto. Como um subespaço deve conter o vetor zero, isso já basta para concluir que o conjunto não é subespaço vetorial.
Podemos também mostrar a falha em fechamento por escalar com um exemplo concreto: escolha (x,y,z)=(0,5,0) — esse vetor satisfaz y=5\cdot 0 +5. Multiplique por 2: 2(0,5,0)=(0,10,0). Verifique a condição: 10 \overset{?}{=} 5\cdot 0 +5 que dá 10=5, falso. Logo não é fechado por multiplicação escalar. Isso confirma que a afirmação III é falsa.
Intuição: o conjunto é um plano afim paralelo a um plano que seria subespaço se o termo constante fosse zero; mas por ter o termo constante +5 é um plano deslocado (uma “reta/planeta afim”) que não passa pela origem — esses conjuntos não são subespaços.

Passo 6

Resumo das avaliações:
  • I é falsa (o conjunto solução do homogêneo é subespaço).
  • II é falsa (núcleo de transformação linear — incluindo reflexão linear — é subespaço, geralmente \{\overrightarrow{0}\}).
  • III é falsa (o conjunto não contém \overrightarrow{0} e não é fechado por escalares).
Assim, todas as três afirmativas são falsas.

Resposta

(A) Todas são falsas.

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