Q12: Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:\n
- Pede-se
, a projeção ortogonal de sobre o subespaço , e, em particular, o valor da terceira entrada de .\n - Vetor dado:
.\n - Subespaço dado por uma equação:
- Dica do enunciado: projetar
em (o complementar ortogonal de ) é mais fácil. Guardaremos essa dica para usar na resolução.
Passo 2
Entendendo a geometria e a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):\n
- O conjunto
é um hiperplano definido pela equação . Isso significa que todos os vetores de são ortogonais a um vetor normal dessa equação. O vetor normal é obtido pelos coeficientes da equação linear, ou seja,
- Pelo fato acima,
é a reta gerada por : .\n - Para projetar ortogonalmente
em podemos usar a decomposição:
onde
e
. Assim
é exatamente a projeção de
sobre a reta gerada por
, e é mais fácil computá-la.\n
- Fórmula prática para a projeção de
sobre a direção (linha): se , então
onde
é o produto escalar usual. Aqui
é um número (o produto escalar) e
é o quadrado da norma de
.\n
- Depois obtemos a projeção em
por
Essa técnica é direta e evita ter que parametrizar
.
Passo 3
Calcular o produto escalar
e
:\n
- Primeiro escrevemos
e .\n - Produto escalar:
Agora calculamos cada termo:\n
,\quad
,\quad
,\quad
.\n
Somando:
Somando:
- Agora
(soma dos quadrados das componentes de ):
Passo 4
Calcular a projeção de
sobre
(isto é, componente em
):\n
- Usando a fórmula,
- Então
Passo 5
Obter
subtraindo a componente
(a parte perpendicular):\n
- Temos
e .\n - Calculamos
Subtração componente a componente:\n
primeira componente: ,\n
segunda componente: ,\n
terceira componente: ,\n
quarta componente: .\n
primeira componente:
segunda componente:
terceira componente:
quarta componente:
- Portanto
Resposta
2 (alternativa B)