Q12: Sejam \vec{v}=(-10,2,0,1) \mathrm{e}
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-3 y+2 z+w=0\right\}
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:\n
  • Pede-se \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre o subespaço H, e, em particular, o valor da terceira entrada w_{3} de \vec{w}.\n
  • Vetor dado: \vec{v}=(-10,2,0,1).\n
  • Subespaço dado por uma equação:
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-3y+2z+w=0\}.
  • Dica do enunciado: projetar \vec{v} em H^\perp (o complementar ortogonal de H) é mais fácil. Guardaremos essa dica para usar na resolução.

Passo 2

Entendendo a geometria e a fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):\n
  • O conjunto H é um hiperplano definido pela equação \;x-3y+2z+w=0\;. Isso significa que todos os vetores de H são ortogonais a um vetor normal \vec{n} dessa equação. O vetor normal é obtido pelos coeficientes da equação linear, ou seja,
\vec{n}=(1,-3,2,1).
  • Pelo fato acima, H^\perp é a reta gerada por \vec{n}: H^\perp=\text{span}\{\vec{n}\}.\n
  • Para projetar ortogonalmente \vec{v} em H podemos usar a decomposição:
\vec{v} = \vec{w} + \vec{u},
onde \vec{w}=P_H\vec{v}\in H e \vec{u}\in H^\perp. Assim \vec{u} é exatamente a projeção de \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n}, e é mais fácil computá-la.\n
  • Fórmula prática para a projeção de \vec{v} sobre a direção \vec{n} (linha): se \vec{u}=\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}, então
\vec{u}=\frac{\langle\vec{v},\vec{n}\rangle}{\langle\vec{n},\vec{n}\rangle}\,\vec{n},
onde \langle\cdot,\cdot\rangle é o produto escalar usual. Aqui \langle\vec{v},\vec{n}\rangle é um número (o produto escalar) e \langle\vec{n},\vec{n}\rangle é o quadrado da norma de \vec{n}.\n
  • Depois obtemos a projeção em H por
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.
Essa técnica é direta e evita ter que parametrizar H.

Passo 3

Calcular o produto escalar \langle\vec{v},\vec{n}\rangle e \langle\vec{n},\vec{n}\rangle:\n
  • Primeiro escrevemos \vec{v}=(-10,2,0,1) e \vec{n}=(1,-3,2,1).\n
  • Produto escalar:
\langle\vec{v},\vec{n}\rangle = -10\cdot 1 + 2\cdot(-3) + 0\cdot 2 + 1\cdot 1.
Agora calculamos cada termo:\n
-10\cdot 1 = -10,\quad 2\cdot(-3)=-6,\quad 0\cdot 2=0,\quad 1\cdot 1=1.\n
Somando:
\langle\vec{v},\vec{n}\rangle = -10 - 6 + 0 + 1 = -15.
  • Agora \langle\vec{n},\vec{n}\rangle (soma dos quadrados das componentes de \vec{n}):
\langle\vec{n},\vec{n}\rangle = 1^2 + (-3)^2 + 2^2 + 1^2 = 1 + 9 + 4 + 1 = 15.

Passo 4

Calcular a projeção de \vec{v} sobre \vec{n} (isto é, componente em H^\perp):\n
  • Usando a fórmula,
\vec{u}=\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\langle\vec{v},\vec{n}\rangle}{\langle\vec{n},\vec{n}\rangle}\,\vec{n} = \frac{-15}{15}\,\vec{n} = -1\cdot\vec{n}.
  • Então
\vec{u} = -1\cdot(1,-3,2,1)=(-1,3,-2,-1).

Passo 5

Obter \vec{w}=P_H\vec{v} subtraindo a componente \vec{u} (a parte perpendicular):\n
  • Temos \vec{v}=(-10,2,0,1) e \vec{u}=(-1,3,-2,-1).\n
  • Calculamos
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}=(-10,2,0,1)-(-1,3,-2,-1).
Subtração componente a componente:\n
primeira componente: -10-(-1)=-10+1=-9,\n
segunda componente: 2-3=-1,\n
terceira componente: 0-(-2)=0+2=2,\n
quarta componente: 1-(-1)=1+1=2.\n
  • Portanto
\vec{w}=(-9,-1,2,2).

Resposta

2 (alternativa B)

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