Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=4 x^{2}+4 x-1 na reta gerada por q(x)=2-3 x.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 4 x^{2}+4 x-1 no intervalo [ 0,1 ] por um múltiplo de 2-3 x é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) \frac{7 x}{2}-\frac{7}{3}
(B) 4 x-\frac{8}{3}
(C) -\frac{16 x^{2}}{3}-\frac{16 x}{3}+\frac{4}{3}
(D) \frac{5 x}{2}-\frac{5}{3}
(E) -4 x^{2}-4 x+1
(F) -\frac{14 x^{2}}{3}-\frac{14 x}{3}+\frac{7}{6}
(G) -\frac{10 x^{2}}{3}-\frac{10 x}{3}+\frac{5}{6}
(H) 3 x-2

Passo 1

O que o enunciado pede: encontrar a projeção ortogonal do polinômio p(x)=4x^{2}+4x-1 na reta gerada por q(x)=2-3x, quando o produto interno é
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx.
Informações dadas e relevantes:
p(x)=4x^{2}+4x-1,\qquad q(x)=2-3x,
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx.
Pergunta explícita: qual é a projeção ortogonal de p sobre \mathrm{span}\{q\} (ou seja, o melhor múltiplo de q que aproxima p no sentido do produto interno dado)?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicado devagar):
  • A projeção ortogonal de um vetor p sobre a reta gerada por q (com q\neq 0) é um múltiplo de q, digamos \alpha q.
  • A condição de projeção ortogonal é que o erro p-\alpha q seja ortogonal a q, isto é
\langle p-\alpha q,\,q\rangle=0.
  • Desenvolvendo isso obtemos
\langle p,q\rangle-\alpha\langle q,q\rangle=0,
portanto
\alpha=\frac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}.
Aqui \alpha é um número real escalar; \langle p,q\rangle é o produto interno entre p e q (uma integral), e \langle q,q\rangle é o quadrado da norma de q (também uma integral). Essa fórmula vem de forçar a derivada do erro quadrático em relação a \alpha igual a zero ou, alternativamente, da condição de ortogonalidade acima.

Passo 3

Calcular \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx passo a passo:
Multiplicamos os polinômios:
p(x)q(x)=(4x^{2}+4x-1)(2-3x).
Fazendo a multiplicação termo a termo:
4x^{2}\cdot 2=8x^{2},\quad 4x^{2}\cdot(-3x)=-12x^{3},
4x\cdot 2=8x,\quad 4x\cdot(-3x)=-12x^{2},
-1\cdot 2=-2,\quad -1\cdot(-3x)=3x.
Somando os termos semelhantes:
p(x)q(x)=-12x^{3}+(-4x^{2})+11x-2.
Agora integramos de 0 a 1 termo a termo:
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1}\big(-12x^{3}-4x^{2}+11x-2\big)\,dx.
Antiderivadas e avaliação:
\int_{0}^{1}-12x^{3}\,dx=-12\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1}=-12\cdot\frac{1}{4}=-3,
\int_{0}^{1}-4x^{2}\,dx=-4\cdot\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1}=-\frac{4}{3},
\int_{0}^{1}11x\,dx=11\cdot\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}=\frac{11}{2},
\int_{0}^{1}-2\,dx=-2\cdot x\Big|_{0}^{1}=-2.
Somando:
\langle p,q\rangle=-3-\frac{4}{3}+\frac{11}{2}-2.
Colocando em denominador comum 6:
-3=-\frac{18}{6},\quad -\frac{4}{3}=-\frac{8}{6},\quad \frac{11}{2}=\frac{33}{6},\quad -2=-\frac{12}{6},
\langle p,q\rangle=\frac{-18-8+33-12}{6}=\frac{-5}{6}.

Passo 4

Calcular \langle q,q\rangle=\int_{0}^{1} (2-3x)^{2}\,dx:
Expandindo:
(2-3x)^{2}=4-12x+9x^{2}.
Integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}4\,dx=4,
\int_{0}^{1}-12x\,dx=-12\cdot\frac{1}{2}=-6,
\int_{0}^{1}9x^{2}\,dx=9\cdot\frac{1}{3}=3.
Somando:
\langle q,q\rangle=4-6+3=1.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula \alpha=\dfrac{\langle p,q\rangle}{\langle q,q\rangle}:
\alpha=\frac{-5/6}{1}=-\frac{5}{6}.
A projeção ortogonal de p sobre a reta gerada por q é \alpha q(x). Calculamos
\alpha q(x)=-\frac{5}{6}(2-3x).
Fazendo a distribuição e simplificando frações:
-\frac{5}{6}\cdot 2=-\frac{10}{6}=-\frac{5}{3},
-\frac{5}{6}\cdot(-3x)=\frac{15}{6}x=\frac{5}{2}x.
Portanto a projeção é
\frac{5}{2}x-\frac{5}{3}.

Resposta

(D) \frac{5 x}{2}-\frac{5}{3}

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