Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=4 x^{2}+4 x-1 na reta gerada por q(x)=2-3 x.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 4 x^{2}+4 x-1 no intervalo [ 0,1 ] por um múltiplo de 2-3 x é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) \frac{7 x}{2}-\frac{7}{3}
(B) 4 x-\frac{8}{3}
(C) -\frac{16 x^{2}}{3}-\frac{16 x}{3}+\frac{4}{3}
(D) \frac{5 x}{2}-\frac{5}{3}
(E) -4 x^{2}-4 x+1
(F) -\frac{14 x^{2}}{3}-\frac{14 x}{3}+\frac{7}{6}
(G) -\frac{10 x^{2}}{3}-\frac{10 x}{3}+\frac{5}{6}
(H) 3 x-2
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar a projeção ortogonal do polinômio p(x)=4x^{2}+4x-1 na reta gerada por q(x)=2-3x, quando o produto interno é
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx.
Informações dadas e relevantes:
p(x)=4x^{2}+4x-1,\qquad q(x)=2-3x,
\langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx.
Pergunta explícita: qual é a projeção ortogonal de p sobre \mathrm{span}\{q\} (ou seja, o melhor múltiplo de q que aproxima p no sentido do produto interno dado)?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicado devagar):
A projeção ortogonal de um vetor p sobre a reta gerada por q (com q\neq 0) é um múltiplo de q, digamos \alpha q.
A condição de projeção ortogonal é que o erro p-\alpha q seja ortogonal a q, isto é
Aqui \alpha é um número real escalar; \langle p,q\rangle é o produto interno entre p e q (uma integral), e \langle q,q\rangle é o quadrado da norma de q (também uma integral). Essa fórmula vem de forçar a derivada do erro quadrático em relação a \alpha igual a zero ou, alternativamente, da condição de ortogonalidade acima.
Passo 3
Calcular \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx passo a passo:
Multiplicamos os polinômios: