A pergunta é: entre as alternativas (A)–(H), qual igualdade matricial é verdadeira?
Passo 2
Primeiro fato útil (muito prático na prova): multiplicar A pela matriz M cujo j-ésimo coluna é \vec{v}_{j} resulta numa matriz cujas colunas são A\vec{v}_{j}. Ou seja,
A M=\begin{bmatrix}A\vec{v}_{1}&A\vec{v}_{2}&A\vec{v}_{3}\end{bmatrix}.
Explicação curta: multiplicação de matrizes age coluna a coluna — A aplicada à coluna j de M dá exatamente A\vec{v}_j.
Passo 3
Como \beta é base, cada vetor A\vec{v}_{j} pode ser escrito de modo único como combinação linear dos vetores \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}. Se escrevermos as coordenadas dessas combinações como colunas de uma matriz B, então
M B=\begin{bmatrix}A\vec{v}_{1}&A\vec{v}_{2}&A\vec{v}_{3}\end{bmatrix}.
Logo, juntando com o passo anterior, obtemos a igualdade fundamental que vamos usar:
A M = M B,
onde B é a matriz cujas colunas são as coordenadas de A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3} na base \beta.
Passo 4
Agora calculamos explicitamente as coordenadas de cada A\vec{v}_{j} em relação à base \beta, usando as igualdades fornecidas no enunciado.
Para \,A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1}\, as coordenadas na base \beta são
\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
pois não há componentes em \vec{v}_{2} nem em \vec{v}_{3}.
Para \,A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}\, as coordenadas na base \beta são
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Para \,A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3}\, as coordenadas na base \beta são
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
Colocando essas colunas juntas, a matriz B (a matriz de A na base \beta) é