Q9: Seja \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} uma base de \mathbb{R}^{3} e A uma matriz 3 \times 3 tal que
A \vec{v}_{1}=3 \vec{v}_{1}, \quad A \vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3 \vec{v}_{3} \quad \text { e } \quad A \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4 \vec{v}_{3} .
Se M=\left[\begin{array}{lll}\vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\end{array}\right], então:
(A) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -4\end{array}\right] M
(B) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 0 & 0 \\\\ 1 & 0 & -3 \\\\ 1 & 0 & -4\end{array}\right]
(C) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right] M
(D) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] M
(E) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & -3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right]
(F) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & -3 & -4 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
(G) A M=M\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -4\end{array}\right]
(H) M A=\left[\begin{array}{rrr}3 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -3 & -4\end{array}\right] M

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
\beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\text{ é uma base de }\mathbb{R}^3,é
A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1},\quad A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3},\quad A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3},
e
M=\begin{bmatrix}\vec{v}_{1}&\vec{v}_{2}&\vec{v}_{3}\end{bmatrix}.
A pergunta é: entre as alternativas (A)–(H), qual igualdade matricial é verdadeira?

Passo 2

Primeiro fato útil (muito prático na prova): multiplicar A pela matriz M cujo j-ésimo coluna é \vec{v}_{j} resulta numa matriz cujas colunas são A\vec{v}_{j}. Ou seja,
A M=\begin{bmatrix}A\vec{v}_{1}&A\vec{v}_{2}&A\vec{v}_{3}\end{bmatrix}.
Explicação curta: multiplicação de matrizes age coluna a coluna — A aplicada à coluna j de M dá exatamente A\vec{v}_j.

Passo 3

Como \beta é base, cada vetor A\vec{v}_{j} pode ser escrito de modo único como combinação linear dos vetores \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}. Se escrevermos as coordenadas dessas combinações como colunas de uma matriz B, então
M B=\begin{bmatrix}A\vec{v}_{1}&A\vec{v}_{2}&A\vec{v}_{3}\end{bmatrix}.
Logo, juntando com o passo anterior, obtemos a igualdade fundamental que vamos usar:
A M = M B,
onde B é a matriz cujas colunas são as coordenadas de A\vec{v}_{1},A\vec{v}_{2},A\vec{v}_{3} na base \beta.

Passo 4

Agora calculamos explicitamente as coordenadas de cada A\vec{v}_{j} em relação à base \beta, usando as igualdades fornecidas no enunciado.
Para \,A\vec{v}_{1}=3\vec{v}_{1}\, as coordenadas na base \beta são
\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},
pois não há componentes em \vec{v}_{2} nem em \vec{v}_{3}.
Para \,A\vec{v}_{2}=\vec{v}_{1}-3\vec{v}_{3}\, as coordenadas na base \beta são
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix}.
Para \,A\vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}-4\vec{v}_{3}\, as coordenadas na base \beta são
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-4\end{pmatrix}.
Colocando essas colunas juntas, a matriz B (a matriz de A na base \beta) é
B=\begin{bmatrix}3 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -3 & -4\end{bmatrix}.]

Passo 5

Pelo passo 3 temos A M = M B. Substituindo B do passo anterior,
A M = M \begin{bmatrix}3 & 1 & 1 \\[4pt] 0 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -3 & -4\end{bmatrix}.
Agora basta comparar essa igualdade com as alternativas dadas; a alternativa que corresponde exatamente a essa igualdade é a alternativa (G).]

Resposta

G

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