Q12: Sejam \vec{v}=(-17,-3,8,2) \mathrm{e}
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y+3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O enunciado dá:
\vec{v}=(-17,-3,8,2)
e
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-2y+3z+w=0\}.
Pede-se calcular \vec{w}=P_H\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e, especificamente, o valor de w_3, a terceira entrada de \vec{w}.
A dica diz: projete \vec{v} em H^{\perp} (o subespaço ortogonal a H) — isto será útil.

Passo 2

Identificar H^{\perp}.
O conjunto H é dado por uma equação linear \;x-2y+3z+w=0\;. O vetor normal a H (perpendicular a todo vetor de H) é
\vec{n}=(1,-2,3,1).
Logo H^{\perp}=\operatorname{span}\{\vec{n}\}, ou seja, é a reta formada por múltiplos de \vec{n}.

Passo 3

Usar a decomposição ortogonal. Para qualquer \vec{v} em \mathbb{R}^4 existe decomposição única
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H (projeção em H) e \vec{u}\in H^{\perp}. Assim
\vec{w}=\vec{v}-\vec{u}.
Então basta achar \vec{u}, a projeção de \vec{v} em H^{\perp} (em \operatorname{span}\{\vec{n}\}).

Passo 4

Fórmula da projeção de \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n}.
Se \vec{n}\neq\vec{0}, a projeção ortogonal de \vec{v} em \operatorname{span}\{\vec{n}\} é
\operatorname{proj}_{\vec{n}} \vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Explicando cada coisa: \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar (soma dos produtos das componentes), e \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}. O quociente dá o escalar que multiplica \vec{n} para obter a componente de \vec{v} na direção de \vec{n}.

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{n}.
Temos
\vec{v}\cdot\vec{n}=(-17)\cdot1+(-3)\cdot(-2)+8\cdot3+2\cdot1.
Calculemos passo a passo:
(-17)\cdot1=-17,
(-3)\cdot(-2)=6,
8\cdot3=24,
2\cdot1=2.
Somando:
\vec{v}\cdot\vec{n}=-17+6+24+2.

Passo 6

Finalizar a soma do produto escalar:
-17+6=-11,\qquad -11+24=13,\qquad 13+2=15.
Logo
\vec{v}\cdot\vec{n}=15.

Passo 7

Calcular \vec{n}\cdot\vec{n} (norma ao quadrado de \vec{n}).
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+(-2)^2+3^2+1^2=1+4+9+1=15.

Passo 8

Calcular a projeção de \vec{v} em H^{\perp}:
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}=\frac{15}{15}\,\vec{n}=1\cdot\vec{n}=\vec{n}.
Portanto \vec{u}=\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\vec{n}=(1,-2,3,1).

Passo 9

Obter \vec{w}=\vec{v}-\vec{u}. Subtraindo componente a componente:
\vec{w}=(-17,-3,8,2)-(1,-2,3,1).
Calcule cada entrada:
-17-1=-18,
-3-(-2)=-3+2=-1,
8-3=5,
2-1=1.
Logo
\vec{w}=(-18,-1,5,1).

Passo 10

Ler a terceira entrada de \vec{w}. A terceira entrada é w_3=5. Isso corresponde à alternativa (E).

Resposta

(E) 5

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