Q12: Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O enunciado dá:
e
Pede-se calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e, especificamente, o valor de
, a terceira entrada de
.
A dica diz: projete em
(o subespaço ortogonal a
) — isto será útil.
A dica diz: projete
Passo 2
Identificar
.
O conjunto é dado por uma equação linear
. O vetor normal a
(perpendicular a todo vetor de
) é
O conjunto
Logo
, ou seja, é a reta formada por múltiplos de
.
Passo 3
Usar a decomposição ortogonal. Para qualquer
em
existe decomposição única
onde
(projeção em
) e
. Assim
Então basta achar
, a projeção de
em
(em
).
Passo 4
Fórmula da projeção de
sobre a reta gerada por
.
Se , a projeção ortogonal de
em
é
Se
Explicando cada coisa:
é o produto escalar (soma dos produtos das componentes), e
é o quadrado da norma de
. O quociente dá o escalar que multiplica
para obter a componente de
na direção de
.
Passo 5
Calcular o produto escalar
.
Temos
Temos
Calculemos passo a passo:
Somando:
Passo 6
Finalizar a soma do produto escalar:
Logo
Passo 7
Calcular
(norma ao quadrado de
).
Passo 8
Calcular a projeção de
em
:
Portanto
.
Passo 9
Obter
. Subtraindo componente a componente:
Calcule cada entrada:
Logo
Passo 10
Ler a terceira entrada de
. A terceira entrada é
. Isso corresponde à alternativa (E).
Resposta
(E) 5