Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=-6 x^{2}+8 x+3 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0, 2] a melhor aproximação seria outra).
(A) 2 x+4
(B) 8 x+3
(C) 5 x+4
(D) 2 x+3
(E) 8 x+4
(F) 5 x+3

Passo 1

O enunciado fornece:
  • O espaço vetorial \mathcal{P}_{2} dos polinômios reais de grau \le 2.
  • Produto interno definido por \langle p,q\rangle=\displaystyle\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx.
  • O polinômio a ser projetado: p(x)=-6x^{2}+8x+3.
    O que se pede:
  • Determinar a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1}, ou seja, encontrar o polinômio r(x)=ax+b\in\mathcal{P}_{1} que é a projeção ortogonal de p em relação ao produto interno dado.
    Opções oferecidas:
    (A) 2x+4
    (B) 8x+3
    (C) 5x+4
    (D) 2x+3
    (E) 8x+4
    (F) 5x+3

Passo 2

Entendendo a projeção ortogonal de forma intuitiva (sem pular etapas).
A projeção ortogonal r de p sobre \mathcal{P}_{1} é o elemento de \mathcal{P}_{1} tal que o erro p-r é ortogonal a todo vetor (polinômio) de \mathcal{P}_{1}. Em termos do produto interno isso significa:
\langle p-r, q\rangle = 0\quad\text{para todo }q\in\mathcal{P}_{1}.
Isto garante que r minimiza a norma \|p-r\| (melhor aproximação em norma L^{2} sobre [0,1]). Vamos usar isso com uma base simples de \mathcal{P}_{1}.

Passo 3

Escolha de base e incógnitas.
Tomamos a base canônica de \mathcal{P}_{1}: \{1,x\}. Escrevemos a projeção r como
r(x)=ax+b,
onde a e b são as incógnitas que vamos determinar impondo ortogonalidade de p-r com 1 e com x.

Passo 4

Escrever as condições de ortogonalidade explicadas passo a passo.
As duas condições são
\langle p-r,1\rangle=0,\qquad \langle p-r,x\rangle=0.
Como o produto interno é linear, isso equivale a
\langle p,1\rangle=\langle r,1\rangle,\qquad \langle p,x\rangle=\langle r,x\rangle.
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais.

Passo 5

Calcular \langle p,1\rangle=\displaystyle\int_{0}^{1} p(x)\cdot 1\,dx.
Substituindo p(x)=-6x^{2}+8x+3,
\langle p,1\rangle=\int_{0}^{1}\big(-6x^{2}+8x+3\big)\,dx.
Calculamos termo a termo, lembrando \displaystyle\int_{0}^{1} x^{n}\,dx=\frac{1}{n+1}:
\int_{0}^{1}-6x^{2}\,dx=-6\cdot\frac{1}{3}=-2,
\int_{0}^{1}8x\,dx=8\cdot\frac{1}{2}=4,
\int_{0}^{1}3\,dx=3\cdot 1=3.
Somando:
\langle p,1\rangle=-2+4+3=5.

Passo 6

Calcular \langle p,x\rangle=\displaystyle\int_{0}^{1} p(x)\,x\,dx.
Substituindo p(x),
\langle p,x\rangle=\int_{0}^{1}\big(-6x^{2}+8x+3\big)x\,dx =\int_{0}^{1}\big(-6x^{3}+8x^{2}+3x\big)\,dx.
Calcule termo a termo:
\int_{0}^{1}-6x^{3}\,dx=-6\cdot\frac{1}{4}=-\frac{3}{2},
\int_{0}^{1}8x^{2}\,dx=8\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{3},
\int_{0}^{1}3x\,dx=3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Somando (faça as frações com denominador comum 6 se preferir):
\langle p,x\rangle=-\frac{3}{2}+\frac{8}{3}+\frac{3}{2}=\frac{8}{3}.
Notamos que os -\tfrac{3}{2} e +\tfrac{3}{2} cancelam, sobrando \tfrac{8}{3}.

Passo 7

Calcular \langle r,1\rangle e \langle r,x\rangle em termos de a e b.
Com r(x)=ax+b,
\langle r,1\rangle=\int_{0}^{1}(ax+b)\,dx = a\cdot\frac{1}{2}+b.
\langle r,x\rangle=\int_{0}^{1}(ax+b)x\,dx = \int_{0}^{1}(ax^{2}+bx)\,dx = a\cdot\frac{1}{3}+b\cdot\frac{1}{2}.

Passo 8

Montar e resolver o sistema linear obtido das igualdades anteriores.
As igualdades \langle p,1\rangle=\langle r,1\rangle e \langle p,x\rangle=\langle r,x\rangle viram
\frac{a}{2}+b = 5,
\frac{a}{3}+\frac{b}{2} = \frac{8}{3}.
Multiplique a primeira por 2 e a segunda por 6 para eliminar denominadores:
a+2b=10,
2a+3b=16.
Agora resolvemos: da primeira a=10-2b. Substituindo na segunda:
2(10-2b)+3b=16 \implies 20-4b+3b=16 \implies 20-b=16 \implies b=4.
Então
a=10-2b=10-8=2.

Passo 9

Escrever a projeção encontrada e fazer uma checagem rápida mental.
Com a=2 e b=4 obtemos
r(x)=2x+4.
Esta é a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1}. Uma checagem rápida: se quiser, calcule \langle p-r,1\rangle e \langle p-r,x\rangle usando os valores encontrados; ambas devem dar 0, confirmando a ortogonalidade.

Resposta

(A) 2x+4

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