Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
sobre
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e de
, para diversos valores de
e
. O observe que melhor aproximação de
no intervalo
por um polinômio da forma
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0, 2] a melhor aproximação seria outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
O enunciado fornece:
- O espaço vetorial
dos polinômios reais de grau . - Produto interno definido por
. - O polinômio a ser projetado:
.
O que se pede: - Determinar a projeção ortogonal de
sobre , ou seja, encontrar o polinômio que é a projeção ortogonal de em relação ao produto interno dado.
Opções oferecidas:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 2
Entendendo a projeção ortogonal de forma intuitiva (sem pular etapas).
A projeção ortogonal de
sobre
é o elemento de
tal que o erro
é ortogonal a todo vetor (polinômio) de
. Em termos do produto interno isso significa:
A projeção ortogonal
Isto garante que
minimiza a norma
(melhor aproximação em norma L^{2} sobre
). Vamos usar isso com uma base simples de
.
Passo 3
Escolha de base e incógnitas.
Tomamos a base canônica de :
. Escrevemos a projeção
como
Tomamos a base canônica de
onde
e
são as incógnitas que vamos determinar impondo ortogonalidade de
com
e com
.
Passo 4
Escrever as condições de ortogonalidade explicadas passo a passo.
As duas condições são
As duas condições são
Como o produto interno é linear, isso equivale a
Agora vamos calcular cada uma dessas integrais.
Passo 5
Calcular
.
Substituindo ,
Substituindo
Calculamos termo a termo, lembrando
:
Somando:
Passo 6
Calcular
.
Substituindo ,
Substituindo
Calcule termo a termo:
Somando (faça as frações com denominador comum
se preferir):
Notamos que os
e
cancelam, sobrando
.
Passo 7
Calcular
e
em termos de
e
.
Com ,
Com
Passo 8
Montar e resolver o sistema linear obtido das igualdades anteriores.
As igualdades e
viram
As igualdades
Multiplique a primeira por
e a segunda por
para eliminar denominadores:
Agora resolvemos: da primeira
. Substituindo na segunda:
Então
Passo 9
Escrever a projeção encontrada e fazer uma checagem rápida mental.
Com e
obtemos
Com
Esta é a projeção ortogonal de
sobre
. Uma checagem rápida: se quiser, calcule
e
usando os valores encontrados; ambas devem dar
, confirmando a ortogonalidade.
Resposta
(A)