Q18: Considere os subespaços de \mathbb{R}^{3} :
\begin{gathered} H=\operatorname{span}\{(-2,1,1),(3,-2,-4)\} \text { e } \\\ M=\operatorname{span}\{(-2,-7,1)\} \end{gathered}
Encontre o único vetor \vec{x} \in M^{\perp} \cap H da forma \vec{x}=\left(-3, x_{2}, x_{3}\right). O valor de x_{3} é:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1

Passo 1

O enunciado dá os subespaços de \mathbb{R}^3:
H=\operatorname{span}\{(-2,1,1),(3,-2,-4)\}, \qquad M=\operatorname{span}\{(-2,-7,1)\}.
Pede-se: encontrar o único vetor \vec{x} que pertence a M^{\perp}\cap H e que tem a forma \vec{x}=(-3,x_{2},x_{3}). A pergunta final é qual é o valor de x_{3} (há opções de (A) a (H)).
Informações relevantes dadas:
  • Um gerador de H são os vetores (-2,1,1) e (3,-2,-4).
  • Um gerador de M é o vetor (-2,-7,1).
  • A condição \vec{x}\in M^{\perp} significa que \vec{x} é ortogonal ao vetor (-2,-7,1).
  • A condição \vec{x}\in H significa que \vec{x} é combinação linear dos geradores de H.
  • Ainda temos a restrição adicional de que a primeira componente de \vec{x} é -3.

Passo 2

Vamos traduzir a condição \vec{x}\in H escrevendo \vec{x} como combinação linear dos geradores de H. Ou seja, existiriam escalares a,b\in\mathbb{R} tais que
\vec{x}=a(-2,1,1)+b(3,-2,-4).
Escrevendo componente a componente obtemos:
x_{1}=-2a+3b,\qquad x_{2}=a-2b,\qquad x_{3}=a-4b.

Passo 3

Usamos agora a informação de que a primeira componente de \vec{x} é -3. Assim:
-2a+3b=-3.
Essa é a primeira equação para a e b.

Passo 4

A condição \vec{x}\in M^{\perp} significa que \vec{x} é ortogonal ao vetor gerador de M, isto é, seu produto escalar com (-2,-7,1) é zero:
(-2,-7,1)\cdot(x_{1},x_{2},x_{3})=0.
Substituindo x_{1},x_{2},x_{3} em função de a,b, calculamos passo a passo:
-2x_{1}-7x_{2}+x_{3}=0.
Agora substituímos x_{1}=-2a+3b, x_{2}=a-2b, x_{3}=a-4b:
-2(-2a+3b)-7(a-2b)+(a-4b)=0.

Passo 5

Calculamos os termos da equação anterior cuidadosamente:
-2(-2a+3b)=4a-6b,
-7(a-2b)=-7a+14b,
(a-4b)=a-4b.
Somando:
(4a-6b)+(-7a+14b)+(a-4b)= (4a-7a+a)+(-6b+14b-4b) = -2a+4b.
Portanto a equação de ortogonalidade fica
-2a+4b=0.
Podemos simplificar dividindo por 2:
-a+2b=0 \quad\Rightarrow\quad a=2b.

Passo 6

Voltamos à equação do Passo 3, que era -2a+3b=-3. Substituindo a=2b nela:
-2(2b)+3b=-3 \quad\Rightarrow\quad -4b+3b=-3 \quad\Rightarrow\quad -b=-3.
Assim obtemos
b=3.
E então
a=2b=6.

Passo 7

Agora calculamos x_{3} usando a fórmula de x_{3} encontrada no Passo 2:
x_{3}=a-4b.
Substituindo a=6 e b=3:
x_{3}=6-4\cdot 3=6-12=-6.

Resposta

-6

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