Q18: Considere os subespaços de
:
Encontre o único vetor
da forma
. O valor de
é:
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1
(A) -6
(B) -5
(C) -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1
Passo 1
O enunciado dá os subespaços de
:
Pede-se: encontrar o único vetor
que pertence a
e que tem a forma
. A pergunta final é qual é o valor de
(há opções de (A) a (H)).
Informações relevantes dadas:
- Um gerador de
são os vetores e . - Um gerador de
é o vetor . - A condição
significa que é ortogonal ao vetor . - A condição
significa que é combinação linear dos geradores de . - Ainda temos a restrição adicional de que a primeira componente de
é .
Passo 2
Vamos traduzir a condição
escrevendo
como combinação linear dos geradores de
. Ou seja, existiriam escalares
tais que
Escrevendo componente a componente obtemos:
Passo 3
Usamos agora a informação de que a primeira componente de
é
. Assim:
Essa é a primeira equação para
e
.
Passo 4
A condição
significa que
é ortogonal ao vetor gerador de
, isto é, seu produto escalar com
é zero:
Substituindo
em função de
, calculamos passo a passo:
Agora substituímos
,
,
:
Passo 5
Calculamos os termos da equação anterior cuidadosamente:
Somando:
Portanto a equação de ortogonalidade fica
Podemos simplificar dividindo por
:
Passo 6
Voltamos à equação do Passo 3, que era
. Substituindo
nela:
Assim obtemos
E então
Passo 7
Agora calculamos
usando a fórmula de
encontrada no Passo 2:
Substituindo
e
: