Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
II. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=6 z-6 y\right\} não é subespaço vetorial.
III. A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três afirmações e pede para escolher qual combinação delas é verdadeira entre as alternativas A a H. As afirmações são:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
II. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=6 z-6 y\right\} não é subespaço vetorial.
III. A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial.
O que se pede: determinar, com justificativa, quais dessas três afirmativas são verdadeiras e então escolher a alternativa correta.

Passo 2

Primeiro, lembrar (de forma prática) o que é preciso para um conjunto S\subseteq\mathbb{R}^n ser um subespaço vetorial: basta verificar três propriedades simples (que são necessárias e suficientes):
  1. \overrightarrow{0}\in S (contém o vetor zero).
  2. Se u\in S e v\in S, então u+v\in S (fechamento por adição).
  3. Se u\in S e c\in\mathbb{R}, então c u\in S (fechamento por multiplicação escalar).
Se as três valem, S é subespaço. Vou usar essas verificações concretas para cada afirmativa. (Quando precisar usar uma propriedade linear como A(u+v)=Au+Av, eu a explico no passo correspondente.)

Passo 3

A afirmativa I fala do conjunto solução do sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0}. Esse conjunto é exatamente o núcleo (kernel) da transformação linear T(\vec{x})=A\vec{x}.
Verificações:
  • T é linear, ou seja, para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v} e escalar c vale T(\vec{u}+\vec{v})=T(\vec{u})+T(\vec{v}) e T(c\vec{u})=cT(\vec{u}). Isso decorre da definição de multiplicação de matriz por vetor.
  • O vetor zero satisfaz T(\overrightarrow{0})=A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}. Logo \overrightarrow{0} pertence ao conjunto solução.
  • Se \vec{u} e \vec{v} são soluções (ou seja A\vec{u}=\overrightarrow{0} e A\vec{v}=\overrightarrow{0}), então A(\vec{u}+\vec{v})=A\vec{u}+A\vec{v}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},logo \vec{u}+\vec{v} é solução (fechamento por adição).
  • Se \vec{u} é solução e c\in\mathbb{R}, então A(c\vec{u})=c(A\vec{u})=c\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0},logo c\vec{u} é solução (fechamento por escalar).
Como as três propriedades de subespaço valem, o conjunto solução de A\vec{x}=\overrightarrow{0} é de fato um subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Considere o conjunto
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x=6z-6y\}.
A afirmativa II diz que esse conjunto NÃO é subespaço. Vamos testar as três propriedades.
  1. Vetor zero: para (x,y,z)=(0,0,0) temos x=0 e 6z-6y=6\cdot 0-6\cdot 0=0. Portanto (0,0,0)\in S.
  2. Fechamento por adição: sejam (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2) em S. Então
x_1=6z_1-6y_1,\qquad x_2=6z_2-6y_2.
Somando as duas igualdades:
x_1+x_2 = 6(z_1+z_2)-6(y_1+y_2).
Logo (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2) satisfaz a mesma relação e pertence a S. Portanto S é fechado por adição.
  1. Fechamento por escalar: seja c\in\mathbb{R} e (x,y,z)\in S com x=6z-6y. Então
c x = c(6z-6y)=6(c z)-6(c y),
logo (c x,\;c y,\;c z) também satisfaz a relação e pertence a S. Portanto S é fechado por multiplicação escalar.
Como todas as três propriedades são satisfeitas, S é um subespaço vetorial. Uma forma alternativa e muito intuitiva de ver isso: qualquer vetor de S pode ser escrito como
(x,y,z) = (6z-6y,\;y,\;z) = y(-6,1,0) + z(6,0,1),
ou seja, S=\operatorname{span}\{(-6,1,0),(6,0,1)\}, a qual é claramente um subespaço (um plano que passa pela origem). Portanto a afirmação “ S não é subespaço” é falsa. Conclusão: a afirmativa II é falsa.

Passo 5

Afirmativa III: “A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial.”
Explicação e verificação: uma rotação em \mathbb{R}^3 (por exemplo, rotacionar todos os vetores em torno de um eixo por um ângulo fixo) é representada por uma transformação linear R:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3. Para qualquer transformação linear T, a imagem \operatorname{Im}(T)=\{T(v):v\in\mathbb{R}^3\} tem as seguintes propriedades:
  • T(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0}, então \overrightarrow{0}\in\operatorname{Im}(T).
  • Se y_1=T(v_1) e y_2=T(v_2) então y_1+y_2=T(v_1)+T(v_2)=T(v_1+v_2), logo y_1+y_2\in\operatorname{Im}(T).
  • Se y=T(v) e c\in\mathbb{R}, então c y = c T(v)=T(c v)\in\operatorname{Im}(T).
Portanto a imagem de qualquer transformação linear é um subespaço vetorial. No caso específico de uma rotação, a matriz de rotação é invertível (rotação não colapsa dimensões), então a imagem é o espaço todo \mathbb{R}^3 — que é certamente um subespaço. Assim a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumindo as conclusões dos passos anteriores:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
  • III é verdadeira.
Logo apenas I e III são verdadeiras. Na lista de alternativas isso corresponde à alternativa F.
Força aí — as verificações de subespaço são sempre as mesmas três etapas; decorando esse “checklist” fica mais rápido na prova.

Resposta

F

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