Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
II.
não é subespaço vetorial.
III. A imagem de uma rotação em
é subespaço vetorial
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
II.
III. A imagem de uma rotação em
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três afirmações e pede para escolher qual combinação delas é verdadeira entre as alternativas
a
. As afirmações são:
I. O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
II.
não é subespaço vetorial.
III. A imagem de uma rotação em
é subespaço vetorial.
O que se pede: determinar, com justificativa, quais dessas três afirmativas são verdadeiras e então escolher a alternativa correta.
Passo 2
Primeiro, lembrar (de forma prática) o que é preciso para um conjunto
ser um subespaço vetorial: basta verificar três propriedades simples (que são necessárias e suficientes):
-
(contém o vetor zero). - Se
e , então (fechamento por adição). - Se
e , então (fechamento por multiplicação escalar).
Se as três valem,
é subespaço. Vou usar essas verificações concretas para cada afirmativa. (Quando precisar usar uma propriedade linear como
, eu a explico no passo correspondente.)
Passo 3
A afirmativa I fala do conjunto solução do sistema homogêneo
. Esse conjunto é exatamente o núcleo (kernel) da transformação linear
.
Verificações:
-
é linear, ou seja, para quaisquer vetores e escalar vale e . Isso decorre da definição de multiplicação de matriz por vetor. - O vetor zero satisfaz
. Logo pertence ao conjunto solução. - Se
e são soluções (ou seja e ), então logo é solução (fechamento por adição). - Se
é solução e , então logo é solução (fechamento por escalar).
Como as três propriedades de subespaço valem, o conjunto solução de
é de fato um subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Considere o conjunto
A afirmativa II diz que esse conjunto NÃO é subespaço. Vamos testar as três propriedades.
-
Vetor zero: para
temos e . Portanto . -
Fechamento por adição: sejam
e em . Então
Somando as duas igualdades:
Logo
satisfaz a mesma relação e pertence a
. Portanto
é fechado por adição.
- Fechamento por escalar: seja
e com . Então
logo
também satisfaz a relação e pertence a
. Portanto
é fechado por multiplicação escalar.
Como todas as três propriedades são satisfeitas,
é um subespaço vetorial. Uma forma alternativa e muito intuitiva de ver isso: qualquer vetor de
pode ser escrito como
ou seja,
, a qual é claramente um subespaço (um plano que passa pela origem). Portanto a afirmação “
não é subespaço” é falsa. Conclusão: a afirmativa II é falsa.
Passo 5
Afirmativa III: “A imagem de uma rotação em
é subespaço vetorial.”
Explicação e verificação: uma rotação em
(por exemplo, rotacionar todos os vetores em torno de um eixo por um ângulo fixo) é representada por uma transformação linear
. Para qualquer transformação linear
, a imagem
tem as seguintes propriedades:
-
, então . - Se
e então , logo . - Se
e , então .
Portanto a imagem de qualquer transformação linear é um subespaço vetorial. No caso específico de uma rotação, a matriz de rotação é invertível (rotação não colapsa dimensões), então a imagem é o espaço todo
— que é certamente um subespaço. Assim a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resumindo as conclusões dos passos anteriores:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
- III é verdadeira.
Logo apenas I e III são verdadeiras. Na lista de alternativas isso corresponde à alternativa
.
Força aí — as verificações de subespaço são sempre as mesmas três etapas; decorando esse “checklist” fica mais rápido na prova.
Resposta
F