Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=6 x^{2}-2 x+3 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0, 2] a melhor aproximação seria outra).
(A) -2 x+3
(B) x+3
(C) 4 x+2
(D) 4 x+3
(E) x+2
(F) -2 x+2
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
Espaço vetorial \mathcal{P}_{2} dos polinômios reais de grau \le 2.
Produto interno definido por \langle p,q\rangle=\displaystyle\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx.
O polinômio a projetar é p(x)=6x^{2}-2x+3.
Pede-se a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} (subespaço dos polinômios de grau \le 1).
O que significa “projeção ortogonal” aqui (em palavras simples): a projeção de p sobre \mathcal{P}_{1} é o polinômio q\in\mathcal{P}_{1} tal que p-q é ortogonal a todo vetor (polinômio) de \mathcal{P}_{1}. Em fórmulas, isso quer dizer que para todo r\in\mathcal{P}_{1} vale
\langle p-q, r\rangle = 0.
Isto garante que q é a melhor aproximação de p por um polinômio de grau \le1 no sentido do produto interno dado.
Passo 3
Escolho a base simples de \mathcal{P}_{1}: os polinômios 1 e x. Então qualquer q\in\mathcal{P}_{1} pode ser escrito como
q(x)=ax+b,
onde a e b são os coeficientes desconhecidos que vamos determinar. A condição de ortogonalidade diz que p-q deve ser ortogonal a 1 e a x. Ou seja: