Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=6 x^{2}-2 x+3 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0, 2] a melhor aproximação seria outra).
(A) -2 x+3
(B) x+3
(C) 4 x+2
(D) 4 x+3
(E) x+2
(F) -2 x+2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Espaço vetorial \mathcal{P}_{2} dos polinômios reais de grau \le 2.
  • Produto interno definido por \langle p,q\rangle=\displaystyle\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx.
  • O polinômio a projetar é p(x)=6x^{2}-2x+3.
  • Pede-se a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} (subespaço dos polinômios de grau \le 1).
  • As alternativas fornecidas são:
    (A) -2x+3
    (B) x+3
    (C) 4x+2
    (D) 4x+3
    (E) x+2
    (F) -2x+2

Passo 2

O que significa “projeção ortogonal” aqui (em palavras simples): a projeção de p sobre \mathcal{P}_{1} é o polinômio q\in\mathcal{P}_{1} tal que p-q é ortogonal a todo vetor (polinômio) de \mathcal{P}_{1}. Em fórmulas, isso quer dizer que para todo r\in\mathcal{P}_{1} vale
\langle p-q, r\rangle = 0.
Isto garante que q é a melhor aproximação de p por um polinômio de grau \le1 no sentido do produto interno dado.

Passo 3

Escolho a base simples de \mathcal{P}_{1}: os polinômios 1 e x. Então qualquer q\in\mathcal{P}_{1} pode ser escrito como
q(x)=ax+b,
onde a e b são os coeficientes desconhecidos que vamos determinar. A condição de ortogonalidade diz que p-q deve ser ortogonal a 1 e a x. Ou seja:
\langle p-q, 1\rangle = 0,\qquad \langle p-q, x\rangle = 0.

Passo 4

Escrevendo as duas condições em termos de p e q dá:
\langle p,1\rangle - \langle q,1\rangle = 0, \qquad \langle p,x\rangle - \langle q,x\rangle = 0.
Vou calcular cada um desses produtos internos (todos são integrais de 0 a 1).

Passo 5

Calcular \langle p,1\rangle:
\langle p,1\rangle=\int_{0}^{1} p(x)\cdot 1\,dx=\int_{0}^{1} (6x^{2}-2x+3)\,dx.
Integro termo a termo:
\int_{0}^{1}6x^{2}\,dx = 6\cdot\frac{1^{3}}{3}=2, \qquad \int_{0}^{1}(-2x)\,dx = -2\cdot\frac{1^{2}}{2}=-1, \qquad \int_{0}^{1}3\,dx = 3\cdot 1 = 3.
Somando:
\langle p,1\rangle = 2-1+3 = 4.

Passo 6

Calcular \langle q,1\rangle com q(x)=ax+b:
\langle q,1\rangle=\int_{0}^{1}(ax+b)\,dx = a\cdot\frac{1}{2} + b.
A condição \langle p,1\rangle=\langle q,1\rangle vira a equação
\frac{a}{2}+b = 4. \tag{1}

Passo 7

Calcular \langle p,x\rangle:
\langle p,x\rangle=\int_{0}^{1} x\,(6x^{2}-2x+3)\,dx = \int_{0}^{1} (6x^{3}-2x^{2}+3x)\,dx.
Integro termo a termo:
\int_{0}^{1}6x^{3}\,dx = 6\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{2}, \qquad \int_{0}^{1}(-2x^{2})\,dx = -2\cdot\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}, \qquad \int_{0}^{1}3x\,dx = 3\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.
Somando:
\langle p,x\rangle = \frac{3}{2}-\frac{2}{3}+\frac{3}{2} = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}.

Passo 8

Calcular \langle q,x\rangle:
\langle q,x\rangle=\int_{0}^{1} x(ax+b)\,dx = \int_{0}^{1} (a x^{2}+b x)\,dx = a\cdot\frac{1}{3} + b\cdot\frac{1}{2}.
A condição \langle p,x\rangle=\langle q,x\rangle vira a equação
\frac{a}{3}+\frac{b}{2} = \frac{7}{3}. \tag{2}

Passo 9

Agora resolvo o sistema linear formado por (1) e (2):
\frac{a}{2}+b=4,\qquad \frac{a}{3}+\frac{b}{2}=\frac{7}{3}.
Multiplico a primeira por 2 e a segunda por 6 para eliminar denominadores:
a+2b=8, \qquad 2a+3b=14.
Da primeira a=8-2b. Substituo na segunda:
2(8-2b)+3b=14 \;\Rightarrow\; 16-4b+3b=14 \;\Rightarrow\; 16-b=14 \;\Rightarrow\; b=2.
Então a=8-2b=8-4=4.

Passo 10

Encontramos a=4 e b=2, logo a projeção ortogonal é
q(x)=4x+2.
Comparando com as alternativas, corresponde à alternativa (C).

Resposta

(C) 4x+2

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