Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x
y
Z
-3
-2
33.5
-2
1
8.0
-1
3
-9.7
0
1
-0.1
1
-1
9.7
2
-4
31.1
3
4
2.6
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(6,6). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 50.5
(B) 51.5
(C) 52.5
(D) 53.5
(E) 54.5
(F) 55.5
(G) 56.5
(H) 57.5
Passo 1
O enunciado pede que se determine, por mínimos quadrados, os parâmetros a, b e c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c,
usando as 7 medições fornecidas. Depois de obter a, b, c, calcular o valor previsto de Z para (x,y)=(6,6) e escolher a melhor aproximação entre as opções fornecidas.
(Fiz a manipulação exata em frações; o resultado simplificado é)
c = \dfrac{40903}{11620}.
(Na prática: fiz as operações com frações inteiras para manter exatidão; os passos acima mostram a lógica de eliminação e substituição.)
Finalmente, substituí b e c na primeira equação para obter a:
1960\,a = 4813 - 80b - 280c.
Substituindo as frações e simplificando obtive
a = \dfrac{4221}{1960} = \dfrac{603}{280}.
Passo 7
Valores finais dos parâmetros (exatos em fração e aproximados decimais):
\begin{aligned} a &= \dfrac{603}{280} \approx 2{,}15357142857,\\[4pt] b &= -\dfrac{3267}{664} \approx -4{,}92018072289,\\[4pt] c &= \dfrac{40903}{11620} \approx 3{,}52005172414. \end{aligned}
(Expliquei cada variável: a multiplica x^2, b multiplica y e c é o termo constante. Esses valores minimizam a soma dos quadrados dos desvios entre o modelo e os dados.)]
Passo 8
Cálculo do valor previsto em (x,y)=(6,6).
A fórmula é \hat{Z} = a x^{2} + b y + c. Substituindo x=6 e y=6:
\begin{aligned} \hat{Z} &= a\cdot 6^{2} + b\cdot 6 + c = 36a + 6b + c. \end{aligned}