Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -2 33.5
-2 1 8.0
-1 3 -9.7
0 1 -0.1
1 -1 9.7
2 -4 31.1
3 4 2.6
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(6,6). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 50.5
(B) 51.5
(C) 52.5
(D) 53.5
(E) 54.5
(F) 55.5
(G) 56.5
(H) 57.5

Passo 1

O enunciado pede que se determine, por mínimos quadrados, os parâmetros a, b e c do modelo
Z = a x^{2} + b y + c,
usando as 7 medições fornecidas. Depois de obter a, b, c, calcular o valor previsto de Z para (x,y)=(6,6) e escolher a melhor aproximação entre as opções fornecidas.
Dados (peguei estes números do enunciado):
\begin{array}{r|r|r} x & y & Z\\hline -3 & -2 & 33{,}5\\\\ -2 & 1 & 8{,}0\\\\ -1 & 3 & -9{,}7\\\\ 0 & 1 & -0{,}1\\\\ 1 & -1 & 9{,}7\\\\ 2 & -4 & 31{,}1\\\\ 3 & 4 & 2{,}6 \end{array}
O que preciso entregar:
  • Os valores ajustados de a, b e c pelo critério dos mínimos quadrados.
  • O valor previsto \hat{Z} no ponto (6,6).
  • A resposta final escolhida entre as alternativas (A)–(H).

Passo 2

Breve explicação do método de mínimos quadrados (passo-a-passo didático).
  • Temos um modelo linear em parâmetros: \;Z = a x^{2} + b y + c\;. Mesmo com x^{2}, o modelo é linear em a,b,c.
  • Escrevemos em forma matricial: \; \mathbf{z} = X \mathbf{p} + \boldsymbol{\varepsilon}\;, onde
    • \mathbf{p} = \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} é o vetor de parâmetros,
    • X é a matriz de desenho cujas linhas são \bigl[x_i^{2}\; y_i\; 1\bigr],
    • \mathbf{z} é o vetor de observações Z_i,
    • \boldsymbol{\varepsilon} é o erro.
  • A estimativa de mínimos quadrados resolve as equações normais
X^{T}X\,\mathbf{p} = X^{T}\mathbf{z}.
Isto minimiza a soma dos quadrados dos resíduos \sum_i (Z_i - (a x_i^2 + b y_i + c))^2.
  • Vou construir X, calcular X^{T}X e X^{T}\mathbf{z} (usando somas sobre os 7 pontos) e resolver as normais.]

Passo 3

Construção das somas necessárias. Para cada ponto calculei x^2 e depois as somas:
Tabela auxiliar (peguei os x,y,Z da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|c|c|c} x & x^{2} & y & Z\\hline -3 & 9 & -2 & 33{,}5\\\\ -2 & 4 & 1 & 8{,}0\\\\ -1 & 1 & 3 & -9{,}7\\\\ 0 & 0 & 1 & -0{,}1\\\\ 1 & 1 & -1 & 9{,}7\\\\ 2 & 4 & -4 & 31{,}1\\\\ 3 & 9 & 4 & 2{,}6 \end{array}
Agora as somas (calculei somando as colunas acima):
\begin{aligned} \sum x^{2} &= 9+4+1+0+1+4+9 = 28,\\\ \sum y &= -2+1+3+1-1-4+4 = 2,\\\ \sum 1 &= 7. \end{aligned}
Também preciso de \sum x^4, \sum x^2 y e \sum y^2:
\begin{aligned} \sum x^{4} &= 9^{2}+4^{2}+1^{2}+0^{2}+1^{2}+4^{2}+9^{2} =81+16+1+0+1+16+81 = 196,\\\ \sum x^{2}y &= 9(-2)+4(1)+1(3)+0(1)+1(-1)+4(-4)+9(4) \\\ &= -18+4+3+0-1-16+36 = 8,\\\ \sum y^{2} &= (-2)^{2}+1^{2}+3^{2}+1^{2}+(-1)^{2}+(-4)^{2}+4^{2} \\\ &=4+1+9+1+1+16+16 = 48. \end{aligned}

Passo 4

Cálculo de X^{T}\mathbf{z}, ou seja \sum x^{2}Z, \sum y Z e \sum Z:
Calculei termo-a-termo e somei:
\begin{aligned} \sum x^{2}Z &= 9(33{,}5)+4(8{,}0)+1(-9{,}7)+0(-0{,}1)+1(9{,}7)+4(31{,}1)+9(2{,}6) \\\ &=301{,}5+32-9{,}7+0+9{,}7+124{,}4+23{,}4 = 481{,}3,\\\ \sum yZ &= -2(33{,}5)+1(8{,}0)+3(-9{,}7)+1(-0{,}1)+(-1)(9{,}7)+(-4)(31{,}1)+4(2{,}6)\\\ &= -67+8-29{,}1-0{,}1-9{,}7-124{,}4+10{,}4 = -211{,}9,\\\ \sum Z &= 33{,}5+8{,}0-9{,}7-0{,}1+9{,}7+31{,}1+2{,}6 = 75{,}1. \end{aligned}
Portanto
X^{T}X= \begin{pmatrix} \sum x^{4} & \sum x^{2}y & \sum x^{2}\\[4pt] \sum x^{2}y & \sum y^{2} & \sum y\\[4pt] \sum x^{2} & \sum y & \sum 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & 8 & 28\\[4pt] 8 & 48 & 2\\[4pt] 28 & 2 & 7 \end{pmatrix},
e
X^{T}\mathbf{z}= \begin{pmatrix} 481{,}3\\[4pt] -211{,}9\\[4pt] 75{,}1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrevo as equações normais explícitas:
\begin{pmatrix} 196 & 8 & 28\\[4pt] 8 & 48 & 2\\[4pt] 28 & 2 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 481{,}3\\[4pt] -211{,}9\\[4pt] 75{,}1 \end{pmatrix}.
Para evitar muitos decimais, multipliquei todas as equações por 10 (porque as observações têm uma casa decimal), obtendo o equivalente inteiro
\begin{aligned} 1960\,a + 80\,b + 280\,c &= 4813,\\\\ 80\,a + 480\,b + 20\,c &= -2119,\\\\ 280\,a + 20\,b + 70\,c &= 751. \end{aligned}]

Passo 6

Resolvi o sistema linear por eliminação (mostrando os passos algébricos):
  1. Eliminando a entre a segunda e terceira equação: multipliquei a segunda por 7 e a terceira por 2, e subtraí:
\begin{aligned} (80\cdot7)a + (480\cdot7)b + (20\cdot7)c &= -2119\cdot7,\\\ (280\cdot2)a + (20\cdot2)b + (70\cdot2)c &= 751\cdot2. \end{aligned}
Subtraindo, os termos com a e c se cancelaram parcialmente, resultando em uma equação somente em b:
3320\,b = -16335.
Logo
b = -\dfrac{16335}{3320} = -\dfrac{3267}{664}.
  1. Eliminando a entre a primeira e a terceira equação: multipliquei a terceira por 7 e subtraí a primeira (isto elimina a):
1960\,a + 140\,b + 490\,c = 5257
(subtraindo a primeira: 1960a+80b+280c=4813) resulta
60\,b + 210\,c = 444.
Dividindo por 6:
10\,b + 35\,c = 74.
Substituindo b = -\dfrac{3267}{664} nessa equação:
35\,c = 74 - 10b = 74 - 10\!\left(-\dfrac{3267}{664}\right) = \frac{40903}{332}\cdot\frac{1}{35^{-1}\text{?}}
(Fiz a manipulação exata em frações; o resultado simplificado é)
c = \dfrac{40903}{11620}.
(Na prática: fiz as operações com frações inteiras para manter exatidão; os passos acima mostram a lógica de eliminação e substituição.)
  1. Finalmente, substituí b e c na primeira equação para obter a:
1960\,a = 4813 - 80b - 280c.
Substituindo as frações e simplificando obtive
a = \dfrac{4221}{1960} = \dfrac{603}{280}.

Passo 7

Valores finais dos parâmetros (exatos em fração e aproximados decimais):
\begin{aligned} a &= \dfrac{603}{280} \approx 2{,}15357142857,\\[4pt] b &= -\dfrac{3267}{664} \approx -4{,}92018072289,\\[4pt] c &= \dfrac{40903}{11620} \approx 3{,}52005172414. \end{aligned}
(Expliquei cada variável: a multiplica x^2, b multiplica y e c é o termo constante. Esses valores minimizam a soma dos quadrados dos desvios entre o modelo e os dados.)]

Passo 8

Cálculo do valor previsto em (x,y)=(6,6).
A fórmula é \hat{Z} = a x^{2} + b y + c. Substituindo x=6 e y=6:
\begin{aligned} \hat{Z} &= a\cdot 6^{2} + b\cdot 6 + c = 36a + 6b + c. \end{aligned}
Usando as frações exatas para manter precisão:
\begin{aligned} 36a &= 36\cdot\dfrac{603}{280} = \dfrac{5427}{70} \approx 77{,}52857142857,\\[4pt] 6b &= 6\cdot\left(-\dfrac{3267}{664}\right) = -\dfrac{9801}{332} \approx -29{,}52048192771,\\[4pt] c &= \dfrac{40903}{11620} \approx 3{,}52005172414. \end{aligned}
Somando:
\hat{Z} \approx 77{,}52857142857 - 29{,}52048192771 + 3{,}52005172414 \approx 51{,}5281412250.
Assim, o valor previsto é aproximadamente \hat{Z}\approx 51{,}5281.]

Passo 9

Escolha da alternativa: entre as opções fornecidas a mais próxima de 51{,}5281 é 51{,}5, correspondente à alternativa (B).

Resposta

(B) 51.5

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