Q12: Sejam \vec{v}=(-21,0,4,-2) e
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-3 y+2 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\text {a }} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Vetor dado: \vec{v}=(-21,0,4,-2).
  • Subespaço H dado pela equação linear \;x-3y+2z+w=0\;.
  • Pedido: calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e em particular encontrar w_{3}, a 3^{\text{a}} entrada de \vec{w}.
  • Opções: (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 5, (F) 6, (G) 7, (H) 8.

Passo 2

Ideia útil (explicada passo a passo):
O hiperplano H é o conjunto de vetores ortogonais ao vetor normal \vec{n} da equação. O espaço ortogonal a H é H^{\perp}=\operatorname{span}\{\vec{n}\}. Qualquer vetor \vec{v} se decompõe unicamente como
\vec{v}=\vec{w}+\vec{u},
onde \vec{w}\in H e \vec{u}\in H^{\perp}. Assim \vec{w}= \vec{v}-\vec{u}.
Projetar em H^{\perp} é mais fácil porque H^{\perp} é gerado por um único vetor \vec{n}: a projeção ortogonal de \vec{v} em \operatorname{span}\{\vec{n}\} tem fórmula simples
\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar usual e \vec{n}\cdot\vec{n} é o quadrado da norma de \vec{n}. Depois \vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v}).

Passo 3

Identificar o vetor normal \vec{n} a partir da equação de H. A equação \;x-3y+2z+w=0\; tem vetor normal
\vec{n}=(1,-3,2,1).

Passo 4

Calcular o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{n} e \vec{n}\cdot\vec{n}:
\vec{v}\cdot\vec{n}=(-21)\cdot 1 + 0\cdot(-3) + 4\cdot 2 + (-2)\cdot 1 = -21 + 0 + 8 - 2 = -15.
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^{2}+(-3)^{2}+2^{2}+1^{2}=1+9+4+1=15.

Passo 5

Calcular a projeção de \vec{v} em H^{\perp}:
\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\,\vec{n}=\frac{-15}{15}\,\vec{n}=-1\cdot(1,-3,2,1)=(-1,3,-2,-1).

Passo 6

Obter \vec{w}=P_{H}\vec{v} subtraindo a componente em H^{\perp}:
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}(\vec{v}) = (-21,0,4,-2)-(-1,3,-2,-1).
Fazendo a subtração componente a componente (ou somando o oposto):
\vec{w}=(-21+1,\;0-3,\;4+2,\;-2+1)=(-20,-3,6,-1).

Passo 7

Da componente calculada acima, a 3^{\text{a}} entrada é
w_{3}=6.

Resposta

(F) 6

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