Q12: Sejam
e
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Vetor dado:
. - Subespaço
dado pela equação linear . - Pedido: calcular
, a projeção ortogonal de sobre , e em particular encontrar , a entrada de . - Opções: (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 5, (F) 6, (G) 7, (H) 8.
Passo 2
Ideia útil (explicada passo a passo):
O hiperplano é o conjunto de vetores ortogonais ao vetor normal
da equação. O espaço ortogonal a
é
. Qualquer vetor
se decompõe unicamente como
O hiperplano
onde
e
. Assim
.
Projetar em é mais fácil porque
é gerado por um único vetor
: a projeção ortogonal de
em
tem fórmula simples
Projetar em
Aqui
é o produto escalar usual e
é o quadrado da norma de
. Depois
.
Passo 3
Identificar o vetor normal
a partir da equação de
. A equação
tem vetor normal
Passo 4
Calcular o produto escalar
e
:
Passo 5
Calcular a projeção de
em
:
Passo 6
Obter
subtraindo a componente em
:
Fazendo a subtração componente a componente (ou somando o oposto):
Passo 7
Da componente calculada acima, a
entrada é
Resposta
(F) 6