Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=6 x^{2}-8 x-2 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que a melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação seria outra).
(A) -8 x-2
(B) -2 x-2
(C) -5 x-2
(D) -8 x-3
(E) -5 x-3
(F) -2 x-3
Passo 1
O enunciado pede a projeção ortogonal de p(x)=6 x^{2}-8 x-2 sobre \mathcal{P}_{1} (o subespaço dos polinômios de grau \le 1) com o produto interno
Pedido: encontrar o polinômio q(x)=a x+b\in\mathcal{P}_{1} que é a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1}.
Passo 2
O que significa “projeção ortogonal” aqui e como transformamos isso em equações numéricas.
Definição prática: a projeção ortogonal \operatorname{proj}_{\mathcal{P}_1} p é o polinômio q(x)=a x+b em \mathcal{P}_1 tal que o erro r(x)=p(x)-q(x) é ortogonal a todo vetor de \mathcal{P}_1. Isso significa, para toda v\in\mathcal{P}_1,
\langle r, v\rangle = 0.
Basta exigir esse 0 para uma base de \mathcal{P}_1. Usando a base \{1,x\}, as condições normais são:
Calcular \int_{0}^{1}(-2x-3)\,dx = \left[-x^{2}-3x\right]_{0}^{1} = -1-3 = -4. Assim -4 - (-4)=0.
Para o outro produto interno, \int_{0}^{1}(-2x-3)x\,dx = \int_{0}^{1}(-2x^{2}-3x)\,dx = \left[-\tfrac{2}{3}x^{3}-\tfrac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{1} = -\tfrac{2}{3}-\tfrac{3}{2} = -\tfrac{13}{6}. Então \langle p,x\rangle - \langle q,x\rangle = -\tfrac{13}{6} -(-\tfrac{13}{6})=0. Verificação ótima: as condições de ortogonalidade são satisfeitas.
Fica a observação intuitiva: q(x)=-2x-3 é o melhor polinômio linear que aproxima p em sentido do erro quadrático definido pelo produto interno integral em [0,1].