Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=6 x^{2}-8 x-2 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que a melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação seria outra).
(A) -8 x-2
(B) -2 x-2
(C) -5 x-2
(D) -8 x-3
(E) -5 x-3
(F) -2 x-3

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de p(x)=6 x^{2}-8 x-2 sobre \mathcal{P}_{1} (o subespaço dos polinômios de grau \le 1) com o produto interno
\langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)q(x)\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Função que queremos projetar: p(x)=6 x^{2}-8 x-2.
  • Subespaço alvo: \mathcal{P}_{1}=\{a x+b \mid a,b\in\mathbb{R}\}.
  • Produto interno: \langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx.
  • Pedido: encontrar o polinômio q(x)=a x+b\in\mathcal{P}_{1} que é a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1}.

Passo 2

O que significa “projeção ortogonal” aqui e como transformamos isso em equações numéricas.
Definição prática: a projeção ortogonal \operatorname{proj}_{\mathcal{P}_1} p é o polinômio q(x)=a x+b em \mathcal{P}_1 tal que o erro r(x)=p(x)-q(x) é ortogonal a todo vetor de \mathcal{P}_1. Isso significa, para toda v\in\mathcal{P}_1,
\langle r, v\rangle = 0.
Basta exigir esse 0 para uma base de \mathcal{P}_1. Usando a base \{1,x\}, as condições normais são:
\langle p-q,1\rangle=0 \qquad\text{e}\qquad \langle p-q,x\rangle=0.
Essas duas equações determinam os coeficientes a e b do polinômio q(x)=a x+b. Agora vamos calcular os produtos internos que aparecem nessas equações.

Passo 3

Calcular os produtos internos necessários, um por um, lembrando que \langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx.
Calcular \langle 1,1\rangle:
\langle 1,1\rangle=\int_{0}^{1} 1\cdot1\,dx=\int_{0}^{1} 1\,dx=1.
Calcular \langle x,1\rangle=\langle 1,x\rangle:
\langle x,1\rangle=\int_{0}^{1} x\cdot1\,dx=\int_{0}^{1} x\,dx=\left[\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{2}.
Calcular \langle x,x\rangle:
\langle x,x\rangle=\int_{0}^{1} x^{2}\,dx=\left[\tfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{3}.
Agora os produtos com p.
Calcular \langle p,1\rangle:
\langle p,1\rangle=\int_{0}^{1} (6x^{2}-8x-2)\,dx =\left[6\cdot\tfrac{x^{3}}{3}-8\cdot\tfrac{x^{2}}{2}-2x\right]_{0}^{1}.
Avaliar em 1:
6\cdot\tfrac{1}{3}-8\cdot\tfrac{1}{2}-2 = 2 -4 -2 = -4.
Calcular \langle p,x\rangle:
\langle p,x\rangle=\int_{0}^{1} (6x^{2}-8x-2)\,x\,dx =\int_{0}^{1} (6x^{3}-8x^{2}-2x)\,dx.
Integrando termo a termo:
\langle p,x\rangle=\left[6\cdot\tfrac{x^{4}}{4}-8\cdot\tfrac{x^{3}}{3}-2\cdot\tfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \tfrac{6}{4}-\tfrac{8}{3}-1.
Colocando em forma fracionária comum:
\tfrac{6}{4}=\tfrac{3}{2},\qquad \tfrac{3}{2}-\tfrac{8}{3}-1=\frac{9-16-6}{6}=\frac{-13}{6}.
Portanto \langle p,x\rangle=-\tfrac{13}{6}.
Resumindo os valores que vamos usar:
\langle 1,1\rangle=1,\quad \langle x,1\rangle=\tfrac{1}{2},\quad \langle x,x\rangle=\tfrac{1}{3},
\langle p,1\rangle=-4,\quad \langle p,x\rangle=-\tfrac{13}{6}.

Passo 4

Escrever as equações normais para a e b. Lembrando q(x)=a x+b.
Primeira condição ( \langle p-q,1\rangle=0):
\langle p,1\rangle - a\langle x,1\rangle - b\langle 1,1\rangle = 0.
Substituindo valores:
-4 - a\cdot\tfrac{1}{2} - b\cdot 1 = 0.
Reescrevendo:
\tfrac{1}{2}a + b = -4. \tag{1}
Segunda condição ( \langle p-q,x\rangle=0):
\langle p,x\rangle - a\langle x,x\rangle - b\langle 1,x\rangle = 0.
Substituindo valores:
-\tfrac{13}{6} - a\cdot\tfrac{1}{3} - b\cdot\tfrac{1}{2} = 0.
Reescrevendo:
\tfrac{1}{3}a + \tfrac{1}{2}b = -\tfrac{13}{6}. \tag{2}
Agora resolvemos o sistema linear (1)-(2) para a e b.

Passo 5

Resolver o sistema. Para eliminar frações, multiplico as equações por 6.
Da equação (1): \tfrac{1}{2}a + b = -4. Multiplicando por 6:
3a + 6b = -24. \tag{1'}
Da equação (2): \tfrac{1}{3}a + \tfrac{1}{2}b = -\tfrac{13}{6}. Multiplicando por 6:
2a + 3b = -13. \tag{2'}
Agora eliminação: subtrair (2') de (1'):
(3a+6b)-(2a+3b) = -24 -(-13)
a + 3b = -11.
Isolando a:
a = -11 - 3b.
Substituir em (2'): 2a+3b=-13:
2(-11-3b)+3b = -13
-22 -6b +3b = -13
-22 -3b = -13
-3b = 9 \quad\Rightarrow\quad b = -3.
Substituir b=-3 em a=-11-3b:
a = -11 -3(-3) = -11 +9 = -2.
Portanto os coeficientes são a=-2 e b=-3. A projeção é q(x)=-2x-3.

Passo 6

Verificação rápida (cheia de calma): devemos ter \langle p-q,1\rangle=0 e \langle p-q,x\rangle=0. Com q(x)=-2x-3,
\langle p,1\rangle - \langle q,1\rangle = -4 - \int_{0}^{1}(-2x-3)\,dx.
Calcular \int_{0}^{1}(-2x-3)\,dx = \left[-x^{2}-3x\right]_{0}^{1} = -1-3 = -4. Assim -4 - (-4)=0.
Para o outro produto interno, \int_{0}^{1}(-2x-3)x\,dx = \int_{0}^{1}(-2x^{2}-3x)\,dx = \left[-\tfrac{2}{3}x^{3}-\tfrac{3}{2}x^{2}\right]_{0}^{1} = -\tfrac{2}{3}-\tfrac{3}{2} = -\tfrac{13}{6}. Então \langle p,x\rangle - \langle q,x\rangle = -\tfrac{13}{6} -(-\tfrac{13}{6})=0. Verificação ótima: as condições de ortogonalidade são satisfeitas.
Fica a observação intuitiva: q(x)=-2x-3 é o melhor polinômio linear que aproxima p em sentido do erro quadrático definido pelo produto interno integral em [0,1].

Resposta

-2 x - 3

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