Q7: Seja A uma matrix m \times n.
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se A \vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b} \in \mathbb{R}^{m}, então m=n.
II. Se para algum \vec{b} \in \mathbb{R}^{m} o sistema A \vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções, então Núcleo A=\{\overrightarrow{0}\}.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Tem-se uma matriz A de tamanho m\times n.
  • Pergunta-se sobre a veracidade de duas afirmações:
    I. Se A\vec{x}=\vec{b} tem solução única para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m}, então m=n.
    II. Se para algum \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem infinitas soluções, então \text{Núcleo }A=\{\overrightarrow{0}\}ú.
O objetivo é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras ou falsas.

Passo 2

Antes de provar/contradizer, preciso te lembrar alguns conceitos essenciais (bem mastigados):
  • A aplicação linear associada a A é T:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m} com T(\vec{x})=A\vec{x}.
  • A solução do sistema A\vec{x}=\vec{b} existe se e só se \vec{b} está na imagem (ou espaço coluna) de A.
  • Se \vec{x}_p é uma solução de A\vec{x}=\vec{b}, então o conjunto de todas as soluções é \{\vec{x}_p+\vec{v} \mid \vec{v}\in\ker(A)\}.Ou seja, as soluções formam uma translação do núcleo ( \ker(A)).
  • Definições importantes:
    • \ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^{n}\mid A\vec{x}=\vec{0}\}.
    • \operatorname{rank}(A) (posto) é a dimensão da imagem de A.
  • Teorema da dimensão (rank-nullity): \dim(\ker(A))+\operatorname{rank}(A)=n.
  • Relações com injetividade/sobrejetividade:
    • T é injetora \iff \ker(A)=\{\vec{0}\}.
    • T é sobrejetora \iff \operatorname{rank}(A)=m.
  • Observação prática: se para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} há exatamente uma solução, então T é bijetora (injetora + sobrejetora). Para uma aplicação linear entre espaços de dimensões finitas, bijetividade força igualdade de dimensões: n=m.
Agora com esses conceitos vamos analisar cada afirmativa.

Passo 3

Prova de I (mostrar que I é verdadeira).
Hipótese: para todo \vec{b}\in\mathbb{R}^{m} o sistema A\vec{x}=\vec{b} tem solução única.
  • “Para todo \vec{b} existe solução” significa que T é sobrejetora. Logo
    \operatorname{rank}(A)=m.
    Explicando: imagem de A é todo \mathbb{R}^{m}, então sua dimensão é m.
  • “A solução é única” significa que o kernel é trivial, isto é, T é injetora. Portanto
    \ker(A)=\{\vec{0}\}\quad\Rightarrow\quad \dim(\ker(A))=0.
    Usando o teorema da dimensão ( \dim(\ker(A))+\operatorname{rank}(A)=n) obtemos
    0+\operatorname{rank}(A)=n \quad\Rightarrow\quad \operatorname{rank}(A)=n.
  • Combinando as duas igualdades para o posto:
    \operatorname{rank}(A)=m \quad\text{e}\quad \operatorname{rank}(A)=n,
    segue que m=n.
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Análise de II (mostrar que II é falsa).
Afirmativa II diz: se para algum \vec{b} o sistema tem infinitas soluções, então \ker(A)=\{\vec{0}\}.
Vamos usar o fato citado no Passo 2: se \vec{x}_p é uma solução de A\vec{x}=\vec{b}, então o conjunto de todas as soluções é \vec{x}_p+\ker(A). Portanto:
  • Se existe pelo menos uma solução e o sistema tem infinitas soluções, isso só pode ocorrer quando \ker(A) contém vetores além de \vec{0}; ou seja, \dim(\ker(A))\ge 1 e \ker(A)\ne\{\vec{0}\}.
  • Logo a conclusão da afirmativa II (que \ker(A)=\{\vec{0}\}) é contraditória com a hipótese de existirem infinitas soluções.
Para fixar bem com um exemplo concreto (contraexemplo):
  • Tome m=1,\; n=2 e A=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}. Então para \vec{b}=(0) o sistema é x_1=0,que tem infinitas soluções (0,x_2) com x_2 arbitrário. Logo o conjunto de soluções é infinito. Mas \ker(A)=\{(0,x_2)\mid x_2\in\mathbb{R}\}\neq\{\vec{0}\}.
Isto mostra claramente que II é falsa.

Passo 5

Conclusão final, juntando as análises:
  • I é verdadeira.
  • II é falsa.
Portanto, a alternativa correta é a que afirma que só I é verdadeira.

Resposta

(B) Só I é verdadeira.

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