Q7: Seja
uma matrix
.
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
tem solução única para todo
, então
.
II. Se para algum
o sistema
tem infinitas soluções, então Núcleo
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
II. Se para algum
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Tem-se uma matriz
de tamanho . - Pergunta-se sobre a veracidade de duas afirmações:
I. Setem solução única para todo , então .
II. Se para algumo sistema tem infinitas soluções, então .
O objetivo é decidir quais dessas afirmativas são verdadeiras ou falsas.
Passo 2
Antes de provar/contradizer, preciso te lembrar alguns conceitos essenciais (bem mastigados):
- A aplicação linear associada a
é com . - A solução do sistema
existe se e só se está na imagem (ou espaço coluna) de . - Se
é uma solução de , então o conjunto de todas as soluções é Ou seja, as soluções formam uma translação do núcleo ( ). - Definições importantes:
-
. -
(posto) é a dimensão da imagem de .
-
- Teorema da dimensão (rank-nullity):
- Relações com injetividade/sobrejetividade:
-
é injetora . -
é sobrejetora .
-
- Observação prática: se para todo
há exatamente uma solução, então é bijetora (injetora + sobrejetora). Para uma aplicação linear entre espaços de dimensões finitas, bijetividade força igualdade de dimensões: .
Agora com esses conceitos vamos analisar cada afirmativa.
Passo 3
Prova de I (mostrar que I é verdadeira).
Hipótese: para todo
o sistema
tem solução única.
-
“Para todo
existe solução” significa que é sobrejetora. Logo Explicando: imagem deé todo , então sua dimensão é . -
“A solução é única” significa que o kernel é trivial, isto é,
é injetora. Portanto Usando o teorema da dimensão () obtemos -
Combinando as duas igualdades para o posto:segue que
.
Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Análise de II (mostrar que II é falsa).
Afirmativa II diz: se para algum
o sistema tem infinitas soluções, então
.
Vamos usar o fato citado no Passo 2: se
é uma solução de
, então o conjunto de todas as soluções é
. Portanto:
- Se existe pelo menos uma solução e o sistema tem infinitas soluções, isso só pode ocorrer quando
contém vetores além de ; ou seja, e . - Logo a conclusão da afirmativa II (que
) é contraditória com a hipótese de existirem infinitas soluções.
Para fixar bem com um exemplo concreto (contraexemplo):
- Tome
e . Então para o sistema é que tem infinitas soluções com arbitrário. Logo o conjunto de soluções é infinito. Mas
Isto mostra claramente que II é falsa.
Passo 5
Conclusão final, juntando as análises:
- I é verdadeira.
- II é falsa.
Portanto, a alternativa correta é a que afirma que só I é verdadeira.
Resposta
(B) Só I é verdadeira.