Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado por três vetores:
A pergunta é: qual dos conjuntos listados é uma base de
(o complemento ortogonal de
)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os geradores de
são exatamente (dados no enunciado). - As alternativas fornecem vetores candidatos a formar uma base de
. - Para ser base de
um conjunto precisa: - Ter vetores que sejam todos ortogonais a todo vetor de
(ou seja, ortogonais a ); e - Ser um conjunto linearmente independente que gere todo
.
- Ter vetores que sejam todos ortogonais a todo vetor de
Passo 2
Primeiro vou simplificar a descrição de
: verificar se os três vetores dados são linearmente independentes ou se há dependência entre eles. Isso afeta a dimensão de
e, por consequência, a dimensão de
.
Vou checar se existe combinação linear
. Escrevendo coordenada a coordenada:
Da segunda equação
Substituindo na primeira:
Verifico a quarta:
, que coincide com a coordenada 4 de
. Logo
Portanto
é combinação linear de
, e os três não são independentes. Assim
(desde que
e
sejam independentes, o que é claro pois não são múltiplos um do outro).
Passo 3
Como estamos em
e
, vale a relação
logo
Então
é um subespaço de dimensão
. Logo qualquer base de
deve conter exatamente dois vetores linearmente independentes (as alternativas com só 1 vetor não podem ser base de
).
Passo 4
Agora vamos caracterizar
por equações: um vetor
pertence a
se e somente se for ortogonal a
e a
(ser ortogonal a
ocorrerá automaticamente porque
é combinação de
). Escrevo os produtos internos:
Simplificando:
Passo 5
Resolvendo esse sistema para descrever todos os vetores em
. Das equações:
A coordenada
não aparece nas equações, é livre. Logo parametrizo por duas variáveis livres, digamos
e
:
Portanto o vetor geral é
Isto mostra que uma base conveniente (canônica) de
é
Passo 6
Agora verifico as alternativas: como já concluí que
, qualquer alternativa com apenas um vetor (A, B, E, H) está automaticamente descartada. Resta checar as alternativas com dois vetores (C, D, F, G). O procedimento prático: para cada vetor candidato verifico se ele é ortogonal a
e
; se ambos forem e forem linearmente independentes entre si, então formam uma base de
.
Faço os cálculos de produto interno de forma direta.
Passo 7
Testo rapidamente vetor a vetor a ortogonalidade a
e
:
-
Para
: logo. Isso elimina qualquer alternativa que contenha esse vetor (C e D contêm, logo são inválidas). -
Para
: então. Isso elimina alternativas que contenham (C e F). -
Para
:
portanto
.
- Para
:
portanto
.
Até aqui, vetores válidos são
e
; vetores com coordenadas
ou
não são ortogonais a
e eliminam as opções que os contêm.
Passo 8
Das alternativas com dois vetores, resta analisar:
- (F) contém
que já foi eliminado. - (G) contém
e , ambos já verificados como pertencentes a . Agora preciso checar se esses dois vetores são linearmente independentes (necessário para formar base de dimensão ).
Verifico se um é múltiplo do outro:e não são múltiplos (por exemplo a terceira coordenada difere: versus ). Mais formalmente, subtraindo:
que é não-nulo, logo não colineares. Assim são linearmente independentes e, sendo ambos ortogonais a
, formam uma base de
.
Passo 9
Consistência final: é possível expressar os vetores de (G) em função da base canônica
que encontrei antes:
Isso confirma que esses dois vetores geram exatamente o subespaço descrito em Passo 5. Portanto a alternativa (G) é correta.
Resposta
(G)