Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por: H=\operatorname{span}\{(1,0,0,-3),(-1,3,0,0),(-4,6,0,6)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(-3,-3,4,4)\}
(B) \{(6,2,-4,2)\}
(C) \{(4,4,-4,-2),(-3,-3,4,4)\}
(D) \{(6,2,1,2),(-3,-3,4,4)\}
(E) \{(4,4,-4,-2)\}
(F) \{(4,4,-4,-2),(6,2,-4,2)\}
(G) \{(6,2,1,2),(6,2,-4,2)\}
(H) \{(6,2,1,2)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H\subset\mathbb{R}^4 gerado por três vetores:
v_1=(1,0,0,-3),\qquad v_2=(-1,3,0,0),\qquad v_3=(-4,6,0,6).
A pergunta é: qual dos conjuntos listados é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os geradores de H são exatamente v_1,v_2,v_3 (dados no enunciado).
  • As alternativas fornecem vetores candidatos a formar uma base de H^{\perp}.
  • Para ser base de H^{\perp} um conjunto precisa:
    1. Ter vetores que sejam todos ortogonais a todo vetor de H (ou seja, ortogonais a v_1,v_2,v_3); e
    2. Ser um conjunto linearmente independente que gere todo H^{\perp}.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a descrição de H: verificar se os três vetores dados são linearmente independentes ou se há dependência entre eles. Isso afeta a dimensão de H e, por consequência, a dimensão de H^{\perp}.
Vou checar se existe combinação linear a v_1 + b v_2 = v_3. Escrevendo coordenada a coordenada:
a\cdot1 + b\cdot(-1) = -4,\quad a\cdot0 + b\cdot3 = 6,\quad a\cdot0 + b\cdot0 = 0,\quad a\cdot(-3)+b\cdot0 = 6.
Da segunda equação \;3b=6\Rightarrow b=2. Substituindo na primeira: a-2=-4\Rightarrow a=-2. Verifico a quarta: -3a = -3(-2)=6, que coincide com a coordenada 4 de v_3. Logo
v_3 = -2\,v_1 + 2\,v_2.
Portanto v_3 é combinação linear de v_1,v_2, e os três não são independentes. Assim \dim(H)=2 (desde que v_1 e v_2 sejam independentes, o que é claro pois não são múltiplos um do outro).

Passo 3

Como estamos em \mathbb{R}^4 e \dim(H)=2, vale a relação
\dim(H)+\dim(H^{\perp})=4,
logo
\dim(H^{\perp})=4-2=2.
Então H^{\perp} é um subespaço de dimensão 2. Logo qualquer base de H^{\perp} deve conter exatamente dois vetores linearmente independentes (as alternativas com só 1 vetor não podem ser base de H^{\perp}).

Passo 4

Agora vamos caracterizar H^{\perp} por equações: um vetor x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 pertence a H^{\perp} se e somente se for ortogonal a v_1 e a v_2 (ser ortogonal a v_3 ocorrerá automaticamente porque v_3 é combinação de v_1,v_2). Escrevo os produtos internos:
v_1\cdot x = 1\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 + (-3)\cdot x_4 = 0,
v_2\cdot x = (-1)\cdot x_1 + 3\cdot x_2 + 0\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = 0.
Simplificando:
x_1 - 3x_4 = 0,\qquad -x_1 + 3x_2 = 0.

Passo 5

Resolvendo esse sistema para descrever todos os vetores em H^{\perp}. Das equações:
x_1 = 3x_4,\qquad x_1 = 3x_2 \Rightarrow 3x_2 = 3x_4 \Rightarrow x_2 = x_4.
A coordenada x_3 não aparece nas equações, é livre. Logo parametrizo por duas variáveis livres, digamos s e t:
x_3 = s,\qquad x_4 = t,\qquad x_2 = t,\qquad x_1 = 3t.
Portanto o vetor geral é
x = (3t,t,s,t) = t\,(3,1,0,1) + s\,(0,0,1,0).
Isto mostra que uma base conveniente (canônica) de H^{\perp} é
u_1=(3,1,0,1),\qquad u_2=(0,0,1,0).

Passo 6

Agora verifico as alternativas: como já concluí que \dim(H^{\perp})=2, qualquer alternativa com apenas um vetor (A, B, E, H) está automaticamente descartada. Resta checar as alternativas com dois vetores (C, D, F, G). O procedimento prático: para cada vetor candidato verifico se ele é ortogonal a v_1 e v_2; se ambos forem e forem linearmente independentes entre si, então formam uma base de H^{\perp}.
Faço os cálculos de produto interno de forma direta.

Passo 7

Testo rapidamente vetor a vetor a ortogonalidade a v_1 e v_2:
  • Para a=(-3,-3,4,4):
    v_1\cdot a = (-3) + (-3)\cdot0 + 4\cdot0 + (-3)\cdot4 = -3 -12 = -15 \neq 0,
    logo a\notin H^{\perp}. Isso elimina qualquer alternativa que contenha esse vetor (C e D contêm, logo são inválidas).
  • Para c=(4,4,-4,-2):
    v_1\cdot c = 4 + (-3)(-2) = 4 + 6 = 10 \neq 0,
    então c\notin H^{\perp}. Isso elimina alternativas que contenham c (C e F).
  • Para b=(6,2,-4,2):
    v_1\cdot b = 6 + (-3)\cdot2 = 6-6=0,
v_2\cdot b = -6 + 3\cdot2 = -6 +6 =0,
portanto b\in H^{\perp}.
  • Para d=(6,2,1,2): v_1\cdot d = 6 + (-3)\cdot2 = 6-6=0,
v_2\cdot d = -6 + 3\cdot2 = -6 +6 =0,
portanto d\in H^{\perp}.
Até aqui, vetores válidos são b e d; vetores com coordenadas (-3,-3,4,4) ou (4,4,-4,-2) não são ortogonais a H e eliminam as opções que os contêm.

Passo 8

Das alternativas com dois vetores, resta analisar:
  • (F) contém (4,4,-4,-2) que já foi eliminado.
  • (G) contém (6,2,1,2) e (6,2,-4,2), ambos já verificados como pertencentes a H^{\perp}. Agora preciso checar se esses dois vetores são linearmente independentes (necessário para formar base de dimensão 2).
    Verifico se um é múltiplo do outro: (6,2,1,2) e (6,2,-4,2) não são múltiplos (por exemplo a terceira coordenada difere: 1 versus -4). Mais formalmente, subtraindo:
(6,2,1,2)-(6,2,-4,2)=(0,0,5,0),
que é não-nulo, logo não colineares. Assim são linearmente independentes e, sendo ambos ortogonais a H, formam uma base de H^{\perp}.

Passo 9

Consistência final: é possível expressar os vetores de (G) em função da base canônica u_1,u_2 que encontrei antes:
(6,2,1,2)=2(3,1,0,1)+1(0,0,1,0),
(6,2,-4,2)=2(3,1,0,1)-4(0,0,1,0).
Isso confirma que esses dois vetores geram exatamente o subespaço descrito em Passo 5. Portanto a alternativa (G) é correta.

Resposta

(G)

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