Q14: Introduzimos em
, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
Assinale a projeção ortogonal de
sobre
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e de
, para diversos valores de
e
. O observe que melhor aproximação de
no intervalo
por um polinômio da forma
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0, 2] a melhor aproximação seria outra).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Espaço vetorial:
, polinômios reais de grau . - Produto interno dado:
. - Polinômio que temos:
. - Subespaço onde projetar:
, polinômios de grau , ou seja polinômios da forma . - Pergunta: encontrar a projeção ortogonal de
sobre (ou seja, o mais próximo de segundo a norma associada ao produto interno). As alternativas são listadas em (A)–(F).
Passo 2
Definição/ideia que vou usar (explicada devagar):
- A projeção ortogonal
é o único polinômio tal que o erro é ortogonal a todo vetor de . - Tomando uma base natural de
, por exemplo , a condição de ortogonalidade é - Vou escrever
com incógnitas (são números reais que queremos achar). Cada condição gera uma equação linear em . Depois resolvo esse sistema para obter . - Observação sobre o produto interno:
. Isso significa que quando eu calcular vou integrar de até a função .
Passo 3
Calcular a primeira equação
.
- Escrevendo o integrando:
- Agora integrar de
a : - Integro termo a termo:
- Somando:
- Simplificar:
, então sobra - Isolando
:
Passo 4
Calcular a segunda equação
.
- Escrevo o integrando multiplicado por
: - Integro de
a : - Integrações termo a termo:
- Somando e igualando a zero:
- Podemos reorganizar: combine
com o termo depois substituímos obtido no Passo 3. Primeiro simplifico parcialmente: . Assim - Substituo
(do Passo 3) no termo : - Então a equação fica
- Coloco os dois primeiros termos com denominador comum:
- Logo
- Isolando
: - Portanto
Passo 5
Encontrar
e escrever a projeção; verificação rápida.
- Usando
na fórmula : - Assim a projeção ortogonal é o polinômio
- Verificação rápida (opcional, só para conferir): se substituir
nas equações do Passo 3 e Passo 4, ambas igualam zero, logo é ortogonal a e a , portanto é a projeção correta.
Passo 6
Interpretação curta e encorajamento:
- Isso significa que, segundo a norma definida pelo produto interno
, o polinômio linear que melhor aproxima no intervalo é . - Bom trabalho! Se quiser, dá para plotar
e num software para ver visualmente a aproximação no intervalo .
Resposta
(B)