Q14: Introduzimos em \mathcal{P}_{2}, espaço vetorial dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2 , o produto interno:
\langle p, q\rangle=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=-6 x^{2}+2 x+2 sobre \mathcal{P}_{1}.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p e de a x+b, para diversos valores de a e b. O observe que melhor aproximação de p no intervalo [0,1] por um polinômio da forma a x+b é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0, 2] a melhor aproximação seria outra).
(A) -x+2
(B) -4 x+3
(C) -x+3
(D) 2 x+3
(E) 2 x+2
(F) -4 x+2

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Espaço vetorial: \mathcal{P}_{2}, polinômios reais de grau \le 2.
  • Produto interno dado: \langle p,q\rangle=\int_{0}^{1} p(x)\,q(x)\,dx.
  • Polinômio que temos: p(x)=-6x^{2}+2x+2.
  • Subespaço onde projetar: \mathcal{P}_{1}, polinômios de grau \le 1, ou seja polinômios da forma q(x)=ax+b.
  • Pergunta: encontrar a projeção ortogonal de p sobre \mathcal{P}_{1} (ou seja, o q\in\mathcal{P}_{1} mais próximo de p segundo a norma associada ao produto interno). As alternativas são listadas em (A)–(F).

Passo 2

Definição/ideia que vou usar (explicada devagar):
  • A projeção ortogonal \operatorname{proj}_{\mathcal{P}_{1}}(p) é o único polinômio q\in\mathcal{P}_{1} tal que o erro p-q é ortogonal a todo vetor de \mathcal{P}_{1}.
  • Tomando uma base natural de \mathcal{P}_{1}, por exemplo \{1,x\}, a condição de ortogonalidade é \langle p-q,1\rangle=0 \qquad\text{e}\qquad \langle p-q,x\rangle=0.
  • Vou escrever q(x)=ax+b com incógnitas a,b (são números reais que queremos achar). Cada condição gera uma equação linear em a,b. Depois resolvo esse sistema para obter a,b.
  • Observação sobre o produto interno: \langle f,g\rangle=\int_{0}^{1} f(x)g(x)\,dx. Isso significa que quando eu calcular \langle p-q,1\rangle vou integrar de 0 até 1 a função p(x)-q(x).

Passo 3

Calcular a primeira equação \langle p-q,1\rangle=0.
  • Escrevendo o integrando: p(x)-q(x) = (-6x^{2}+2x+2) - (ax+b) = -6x^{2} + (2-a)x + (2-b).
  • Agora integrar de 0 a 1: \langle p-q,1\rangle=\int_{0}^{1}\bigl(-6x^{2} + (2-a)x + (2-b)\bigr)\,dx.
  • Integro termo a termo: \int_{0}^{1} -6x^{2}\,dx = -6\cdot\frac{1^{3}}{3} = -2,
\int_{0}^{1} (2-a)x\,dx = (2-a)\cdot\frac{1^{2}}{2} = \frac{2-a}{2},
\int_{0}^{1} (2-b)\,dx = (2-b)\cdot 1 = 2-b.
  • Somando: -2 + \frac{2-a}{2} + (2-b) = 0.
  • Simplificar: -2+2=0, então sobra \frac{2-a}{2} - b = 0.
  • Isolando b: b = \frac{2-a}{2}.

Passo 4

Calcular a segunda equação \langle p-q,x\rangle=0.
  • Escrevo o integrando multiplicado por x: (p(x)-q(x))x = \bigl(-6x^{2} + (2-a)x + (2-b)\bigr)x = -6x^{3} + (2-a)x^{2} + (2-b)x.
  • Integro de 0 a 1: \langle p-q,x\rangle = \int_{0}^{1}\bigl(-6x^{3} + (2-a)x^{2} + (2-b)x\bigr)\,dx = 0.
  • Integrações termo a termo: \int_{0}^{1} -6x^{3}\,dx = -6\cdot\frac{1}{4} = -\frac{3}{2},
\int_{0}^{1} (2-a)x^{2}\,dx = (2-a)\cdot\frac{1}{3},
\int_{0}^{1} (2-b)x\,dx = (2-b)\cdot\frac{1}{2}.
  • Somando e igualando a zero: -\frac{3}{2} + \frac{2-a}{3} + \frac{2-b}{2} = 0.
  • Podemos reorganizar: combine -\tfrac{3}{2} com o termo \tfrac{2-b}{2} depois substituímos b obtido no Passo 3. Primeiro simplifico parcialmente: -\tfrac{3}{2} + \tfrac{2-b}{2} = -\tfrac{3}{2} + \tfrac{2}{2} - \tfrac{b}{2} = -\tfrac{1}{2} - \tfrac{b}{2}. Assim \frac{2-a}{3} - \frac{b}{2} - \frac{1}{2} = 0.
  • Substituo b=\dfrac{2-a}{2} (do Passo 3) no termo -\dfrac{b}{2}: -\frac{b}{2} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{2-a}{2} = -\frac{2-a}{4}.
  • Então a equação fica \frac{2-a}{3} - \frac{2-a}{4} - \frac{1}{2} = 0.
  • Coloco os dois primeiros termos com denominador comum: \frac{2-a}{3} - \frac{2-a}{4} = (2-a)\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) = (2-a)\cdot\frac{1}{12}.
  • Logo (2-a)\cdot\frac{1}{12} - \frac{1}{2} = 0.
  • Isolando (2-a): (2-a)\cdot\frac{1}{12} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad 2-a = \frac{1}{2}\cdot 12 = 6.
  • Portanto a = 2-6 = -4.

Passo 5

Encontrar b e escrever a projeção; verificação rápida.
  • Usando a=-4 na fórmula b=\dfrac{2-a}{2}: b = \frac{2-(-4)}{2} = \frac{6}{2} = 3.
  • Assim a projeção ortogonal é o polinômio q(x)=ax+b = -4x+3.
  • Verificação rápida (opcional, só para conferir): se substituir a=-4,b=3 nas equações do Passo 3 e Passo 4, ambas igualam zero, logo p-q é ortogonal a 1 e a x, portanto é a projeção correta.

Passo 6

Interpretação curta e encorajamento:
  • Isso significa que, segundo a norma definida pelo produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle=\int_{0}^{1}\cdot\,\cdot, o polinômio linear que melhor aproxima p(x)=-6x^{2}+2x+2 no intervalo [0,1] é q(x)=-4x+3.
  • Bom trabalho! Se quiser, dá para plotar p e q num software para ver visualmente a aproximação no intervalo [0,1].

Resposta

(B) -4 x+3

Exercícios relacionados