Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
Passo 1
O enunciado dá o subespaço
gerado pelos vetores
A pergunta: qual dos conjuntos listados nas alternativas é uma base de
(o complemento ortogonal de
)?
Informações relevantes dadas:
-
com acima. - As alternativas oferecem vários conjuntos de vetores em
; é preciso identificar qual conjunto forma uma base de .
Passo 2
O que significa
? Definição e condição prática:
- Por definição,
. - Como
é gerado por , basta exigir que seja ortogonal a cada gerador: . - Produto escalar usado: para
e ,
Então, para testar se um vetor pertence a
basta calcular esses produtos escalares e ver se dão zero.
Passo 3
Simplificar a descrição de
: verificar dependência linear entre
.
Calcule uma combinação linear que relacione
. Observa-se que
Portanto
é combinação linear de
e
, e assim
Verificar que
e
são linearmente independentes: suponha
. Pela primeira componente obtemos
. Pela terceira componente obtemos
. Logo são independentes. Assim
.
Passo 4
Consequência de
: em
vale
Logo qualquer base de
deve ter exatamente 2 vetores linearmente independentes, ambos ortogonais a
e
.
Escrever as equações de ortogonalidade para
:
-
dá
-
dá
Solução do sistema: das duas equações obtemos
Logo os vetores em
têm a forma
onde
. Portanto uma base conveniente é
Isso confirma que
e descreve todos os vetores ortogonais a
.
Passo 5
Critérios práticos para verificar as alternativas:
- Cada vetor candidato deve satisfazer
e (estas duas equações vieram da parametrização). - A alternativa escolhida deve ter exatamente 2 vetores (porque
) e esses vetores devem ser linearmente independentes.
Agora checar as alternativas relevantes (apenas as que têm chance):
-
Alternativa (B): primeiro vetor
. Verificar: (ok), (ok). O segundo vetor indicado em (B) é , mas para esse vetor e , não satisfaz . Logo o segundo vetor não pertence a . Assim (B) não pode ser base. -
Alternativa (C): conjunto
. Esse vetor satisfaz e , logo pertence a . Contudo é apenas um vetor isolado; , portanto um vetor não forma base. (C) está errada por cardinalidade. -
Alternativa (E): vetores
e . - Primeiro:
e (pertence a ). - Segundo:
e (pertence a ). - Verificar independência linear: não há escala
tal que (se pela primeira componente, a segunda componente ficaria ). Portanto são linearmente independentes. - Têm cardinalidade 2 e são independentes e pertencem a
. Logo formam uma base de .
- Primeiro:
-
As outras alternativas ou contêm vetores que não pertencem a
(por exemplo falha), ou têm apenas 1 vetor, ou repetem vetores fora da forma exigida. Portanto não podem ser base.
Passo 6
Conclusão: a única alternativa que fornece dois vetores ambos em
e linearmente independentes é a alternativa (E).
Resposta
(E)