Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(0,0,2,-1),(-2,0,0,1),(-4,0,8,-2)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(2,-4,4,2),(2,3,3,2)\}
(B) \{(4,1,4,8),(2,3,3,2)\}
(C) \{(2,3,2,4)\}
(D) \{(2,3,3,2)\}
(E) \{(4,1,4,8),(2,3,2,4)\}
(F) \{(4,1,4,8)\}
(G) \{(2,-4,4,2)\}
(H) \{(2,-4,4,2),(2,3,2,4)\}

Passo 1

O enunciado dá o subespaço H \subset \mathbb{R}^4 gerado pelos vetores
v_1=(0,0,2,-1),\qquad v_2=(-2,0,0,1),\qquad v_3=(-4,0,8,-2).
A pergunta: qual dos conjuntos listados nas alternativas é uma base de H^{\perp} (o complemento ortogonal de H)?
Informações relevantes dadas:
  • H=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\} com v_1,v_2,v_3 acima.
  • As alternativas oferecem vários conjuntos de vetores em \mathbb{R}^4; é preciso identificar qual conjunto forma uma base de H^{\perp}.

Passo 2

O que significa H^{\perp}? Definição e condição prática:
  • Por definição, H^{\perp}=\{x\in\mathbb{R}^4 \mid x\cdot h=0\\ \text{para todo }h\in H\}.
  • Como H é gerado por v_1,v_2,v_3, basta exigir que x seja ortogonal a cada gerador: x\cdot v_1=0,\\ x\cdot v_2=0,\\ x\cdot v_3=0.
  • Produto escalar usado: para x=(x_1,x_2,x_3,x_4) e y=(y_1,y_2,y_3,y_4),
x\cdot y = x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 + x_4y_4.
Então, para testar se um vetor pertence a H^{\perp} basta calcular esses produtos escalares e ver se dão zero.

Passo 3

Simplificar a descrição de H: verificar dependência linear entre v_1,v_2,v_3.
Calcule uma combinação linear que relacione v_1,v_2,v_3. Observa-se que
2v_2 + 4v_1 = 2(-2,0,0,1) + 4(0,0,2,-1) = (-4,0,0,2) + (0,0,8,-4) = (-4,0,8,-2)=v_3.
Portanto v_3 é combinação linear de v_1 e v_2, e assim
H=\operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Verificar que v_1 e v_2 são linearmente independentes: suponha \alpha v_1+\beta v_2=0. Pela primeira componente obtemos -2\beta=0\Rightarrow\beta=0. Pela terceira componente obtemos 2\alpha=0\Rightarrow\alpha=0. Logo são independentes. Assim \dim H=2.

Passo 4

Consequência de \dim H=2: em \mathbb{R}^4 vale
\dim H^{\perp}=4-\dim H=2.
Logo qualquer base de H^{\perp} deve ter exatamente 2 vetores linearmente independentes, ambos ortogonais a v_1 e v_2.
Escrever as equações de ortogonalidade para x=(x_1,x_2,x_3,x_4):
  • x\cdot v_1 = 0
0\cdot x_1 + 0\cdot x_2 + 2 x_3 + (-1)x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x_3 - x_4 = 0.
  • x\cdot v_2 = 0
(-2)x_1 + 0\cdot x_2 + 0\cdot x_3 + 1\cdot x_4 = 0 \quad\Rightarrow\quad -2x_1 + x_4 = 0.
Solução do sistema: das duas equações obtemos
x_4 = 2x_3,\qquad x_4 = 2x_1 \quad\Rightarrow\quad 2x_1 = 2x_3 \Rightarrow x_1 = x_3.
Logo os vetores em H^{\perp} têm a forma
x=(x_1,x_2,x_3,x_4)=(s,t,s,2s)=s(1,0,1,2)+t(0,1,0,0),
onde s,t\in\mathbb{R}. Portanto uma base conveniente é
b_1=(1,0,1,2),\qquad b_2=(0,1,0,0).
Isso confirma que \dim H^{\perp}=2 e descreve todos os vetores ortogonais a H.

Passo 5

Critérios práticos para verificar as alternativas:
  • Cada vetor candidato deve satisfazer x_1=x_3 e x_4=2x_1 (estas duas equações vieram da parametrização).
  • A alternativa escolhida deve ter exatamente 2 vetores (porque \dim H^{\perp}=2) e esses vetores devem ser linearmente independentes.
Agora checar as alternativas relevantes (apenas as que têm chance):
  • Alternativa (B): primeiro vetor (4,1,4,8). Verificar: x_1=4,\\ x_3=4 (ok), x_4=8=2\cdot4 (ok). O segundo vetor indicado em (B) é (2,3,3,2), mas para esse vetor x_1=2 e x_3=3, não satisfaz x_1=x_3. Logo o segundo vetor não pertence a H^{\perp}. Assim (B) não pode ser base.
  • Alternativa (C): conjunto \{(2,3,2,4)\}. Esse vetor satisfaz x_1=2=x_3 e x_4=4=2\cdot2, logo pertence a H^{\perp}. Contudo é apenas um vetor isolado; \dim H^{\perp}=2, portanto um vetor não forma base. (C) está errada por cardinalidade.
  • Alternativa (E): vetores (4,1,4,8) e (2,3,2,4).
    • Primeiro: x_1=4=x_3 e x_4=8=2\cdot4 (pertence a H^{\perp}).
    • Segundo: x_1=2=x_3 e x_4=4=2\cdot2 (pertence a H^{\perp}).
    • Verificar independência linear: não há escala k tal que k(2,3,2,4)=(4,1,4,8) (se k=2 pela primeira componente, a segunda componente ficaria 6\neq1). Portanto são linearmente independentes.
    • Têm cardinalidade 2 e são independentes e pertencem a H^{\perp}. Logo formam uma base de H^{\perp}.
  • As outras alternativas ou contêm vetores que não pertencem a H^{\perp} (por exemplo (2,3,3,2) falha), ou têm apenas 1 vetor, ou repetem vetores fora da forma exigida. Portanto não podem ser base.

Passo 6

Conclusão: a única alternativa que fornece dois vetores ambos em H^{\perp} e linearmente independentes é a alternativa (E).

Resposta

(E)

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