Q13: Em um determinado fenômeno físico, uma grandeza Z depende de duas variáveis de controle x e y. O modelo matemático para esta dependência é Z=a x^{2}+b y+c, onde os parâmetros a, b e c dependem do arranjo experimental. Para se determinar estes parâmetros, foram realizadas 7 medições de Z para diferentes configurações de x e y e os resultados obtidos estão na tabela abaixo:
x y Z
-3 -4 51.9
-2 4 -5.2
-1 -1 13.4
0 2 -7.5
1 2 -2.0
2 -2 25.0
3 4 12.0
Com base nos dados experimentais acima, ajuste os parâmetros a, b e c de forma a minimizar (no sentido dos mínimos quadrados) o desvio entre o modelo e os dados. Feito isto, calcule o valor de Z previsto pelo modelo ajustado para (x, y)=(8,8). Assinale a melhor aproximação para esse valor, dentre as opções abaixo.
Sugestão: Use algum software para resolver este problema. Pode ser uma planilha ou alguma linguagem de programação (como Python ou Octave, por exemplo). Vários destes ambientes estão disponíveis online.
(A) 156.9
(B) 157.9
(C) 158.9
(D) 159.9
(E) 160.9
(F) 161.9
(G) 162.9
(H) 163.9

Passo 1

O enunciado dá que a grandeza \,Z\, segue o modelo \,Z=a x^{2}+b y+c\, e pede que ajustemos os parâmetros \,a,b,c\, por mínimos quadrados usando as 7 medições da tabela e, em seguida, que prevejamos o valor de \,Z\, no ponto (x,y)=(8,8). Peguei os valores diretamente da tabela fornecida; os pontos medidos são:
  • (x,y,Z)=(-3,-4,51{,}9)
  • (x,y,Z)=(-2,4,-5{,}2)
  • (x,y,Z)=(-1,-1,13{,}4)
  • (x,y,Z)=(0,2,-7{,}5)
  • (x,y,Z)=(1,2,-2{,}0)
  • (x,y,Z)=(2,-2,25{,}0)
  • (x,y,Z)=(3,4,12{,}0)
O que se pede:
  1. Achar \,a,b,c\, que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre as medições e o modelo.
  2. Calcular \,Z(8,8)=a\cdot 8^{2}+b\cdot 8 + c\, e escolher a melhor aproximação entre as opções dadas.

Passo 2

Ideia do método (rápida e intuitiva). Para um modelo linear nos parâmetros (aqui linear porque a,b,c aparecem linearmente se tomarmos x^{2} como variável), a forma padrão é usar o método dos mínimos quadrados lineares. Monta-se a matriz de projeto X com colunas correspondentes às funções multiplicadoras dos parâmetros, aqui \,x^{2},\,y,\,1\,. Escrevendo o vetor de parâmetros \theta=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} e o vetor de observações z, os mínimos quadrados são obtidos resolvendo as equações normais
X^{T}X\,\theta = X^{T} z.
Vou explicar cada termo e calcular tudo passo a passo para chegar nos valores de \,a,b,c\,.]

Passo 3

Construção das colunas de X e cálculo das somas necessárias (peguei cada x,y,Z da tabela).
Para cada medição calculei \,x^{2},\,x^{4},\,x^{2}y,\,x^{2}Z,\,y^{2},\,yZ\, porque aparecem nas somas de X^{T}X e X^{T}z. A tabela auxiliar dos cálculos (cada número está entre parênteses na unidade usada na tabela):
  • Para (x,y,Z)=(-3,-4,51{,}9): x^{2}=9,\;x^{4}=81,\;x^{2}y=9\cdot(-4)=-36,\;x^{2}Z=9\cdot51{,}9=467{,}1,\;y^{2}=16,\;yZ=-4\cdot51{,}9=-207{,}6.
  • Para (x,y,Z)=(-2,4,-5{,}2): x^{2}=4,\;x^{4}=16,\;x^{2}y=16,\;x^{2}Z=4\cdot(-5{,}2)=-20{,}8,\;y^{2}=16,\;yZ=4\cdot(-5{,}2)=-20{,}8.
  • Para (x,y,Z)=(-1,-1,13{,}4): x^{2}=1,\;x^{4}=1,\;x^{2}y=-1,\;x^{2}Z=13{,}4,\;y^{2}=1,\;yZ=-13{,}4.
  • Para (x,y,Z)=(0,2,-7{,}5): x^{2}=0,\;x^{4}=0,\;x^{2}y=0,\;x^{2}Z=0,\;y^{2}=4,\;yZ=2\cdot(-7{,}5)=-15{,}0.
  • Para (x,y,Z)=(1,2,-2{,}0): x^{2}=1,\;x^{4}=1,\;x^{2}y=2,\;x^{2}Z=-2{,}0,\;y^{2}=4,\;yZ=-4{,}0.
  • Para (x,y,Z)=(2,-2,25{,}0): x^{2}=4,\;x^{4}=16,\;x^{2}y=-8,\;x^{2}Z=4\cdot25{,}0=100{,}0,\;y^{2}=4,\;yZ=-50{,}0.
  • Para (x,y,Z)=(3,4,12{,}0): x^{2}=9,\;x^{4}=81,\;x^{2}y=36,\;x^{2}Z=108{,}0,\;y^{2}=16,\;yZ=48{,}0.
Agora somo coluna a coluna (escrevo os valores como números):
  • Número de pontos: n=7.
  • \displaystyle \sum x^{2}=9+4+1+0+1+4+9 = 28.
  • \displaystyle \sum x^{4}=81+16+1+0+1+16+81 = 196.
  • \displaystyle \sum y = -4+4-1+2+2-2+4 = 5.
  • \displaystyle \sum y^{2}=16+16+1+4+4+4+16 = 61.
  • \displaystyle \sum x^{2}y = -36+16-1+0+2-8+36 = 9.
  • \displaystyle \sum Z = 51{,}9-5{,}2+13{,}4-7{,}5-2{,}0+25{,}0+12{,}0 = 87{,}6.
  • \displaystyle \sum x^{2}Z = 467{,}1 -20{,}8 +13{,}4 +0 -2{,}0 +100{,}0 +108{,}0 = 665{,}7.
  • \displaystyle \sum yZ = -207{,}6 -20{,}8 -13{,}4 -15{,}0 -4{,}0 -50{,}0 +48{,}0 = -262{,}8.
(Observação: todos esses somatórios foram obtidos diretamente a partir dos valores da tabela.)

Passo 4

Montagem das equações normais. Com as colunas \,x^{2},y,1\, a matriz X^{T}X e o vetor X^{T}z são (escrevo os somatórios substituídos):
X^{T}X = \begin{pmatrix} \sum x^{4} & \sum x^{2}y & \sum x^{2} \\[4pt] \sum x^{2}y & \sum y^{2} & \sum y \\[4pt] \sum x^{2} & \sum y & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 196 & 9 & 28 \\[4pt] 9 & 61 & 5 \\[4pt] 28 & 5 & 7 \end{pmatrix},
X^{T}z = \begin{pmatrix} \sum x^{2}Z \\[4pt] \sum yZ \\[4pt] \sum Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 665{,}7 \\[4pt] -262{,}8 \\[4pt] 87{,}6 \end{pmatrix}.
As equações normais são então
\begin{pmatrix} 196 & 9 & 28 \\[4pt] 9 & 61 & 5 \\[4pt] 28 & 5 & 7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}665{,}7\\[4pt]-262{,}8\\[4pt]87{,}6\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolução do sistema linear (eliminação gaussiana passo a passo). Escrevo as equações explicitamente:
\begin{cases} 196a + 9b + 28c = 665{,}7,\\[4pt] 9a + 61b + 5c = -262{,}8,\\[4pt] 28a + 5b + 7c = 87{,}6. \end{cases}
  1. Elimino a das equações 2 e 3 usando a equação 1.
Fator para zerar a na eq.2: f_{21}=\dfrac{9}{196}. Subtraindo f_{21}\times (eq.1) da eq.2 obtém-se (valores numéricos indicados):
0\cdot a + \left(61-\dfrac{9\cdot 9}{196}\right)b + \left(5-\dfrac{9\cdot 28}{196}\right)c = -262{,}8 - \dfrac{9\cdot 665{,}7}{196}.
Calculando numericamente esses termos:
\text{eq.2' }:\quad 60{,}58673469387755\,b + 3{,}7142857142857142\,c = -293{,}36785714285714.
Fator para zerar a na eq.3: f_{31}=\dfrac{28}{196}=\dfrac{1}{7}. Subtraindo f_{31}\times (eq.1) da eq.3 obtém-se:
0\cdot a + \left(5-\dfrac{28\cdot 9}{196}\right)b + \left(7-\dfrac{28\cdot 28}{196}\right)c = 87{,}6 - \dfrac{28\cdot 665{,}7}{196}.
Numericamente:
\text{eq.3' }:\quad 3{,}7142857142857142\,b + 3\,c = -7{,}5.
  1. Agora elimino b da eq.3’ usando eq.2’. O fator é
f_{32}=\frac{3{,}7142857142857142}{60{,}58673469387755}=\frac{728}{11875}\approx 0{,}061305263157894736.
Subtraindo f_{32}\times eq.2’ da eq.3’ obtém-se uma equação só em c:
\text{eq.3'' }:\quad \Bigl(3 - f_{32}\cdot 3{,}7142857142857142\Bigr)\,c = -7{,}5 - f_{32}\cdot(-293{,}36785714285714).
Calculando numericamente:
\text{coeficiente de }c \approx 2{,}772293719806763,\qquad \text{RHS}\approx 10{,}4849936847208.
Logo
c \approx \dfrac{10{,}4849936847208}{2{,}772293719806763}\approx 3{,}783218\\ (\text{aprox.}).]

Passo 6

Retro-substituição para obter b e a.
  1. Uso eq.2’ (já sem a) para achar b:
60{,}58673469387755\,b + 3{,}7142857142857142\cdot c = -293{,}36785714285714.
Substituindo c\approx 3{,}783218:
60{,}58673469387755\,b \approx -293{,}36785714285714 - 3{,}7142857142857142\cdot 3{,}783218 \approx -307{,}4198097142857.
Portanto
b \approx \dfrac{-307{,}4198097142857}{60{,}58673469387755}\approx -5{,}074045\\ (\text{aprox.}).
  1. Finalmente uso a primeira equação para a:
196a + 9b + 28c = 665{,}7.
Substituindo b e c:
a \approx \dfrac{665{,}7 - 9(-5{,}074045) - 28(3{,}783218)}{196} \approx \dfrac{605{,}436301}{196}\approx 3{,}088836\\ (\text{aprox.}).
Resumo dos parâmetros ajustados (valores aproximados obtidos):
a \approx 3{,}088836,\qquad b \approx -5{,}074045,\qquad c \approx 3{,}783218.

Passo 7

Previsão do valor \,Z(8,8). Calcula-se
Z(8,8)=a\cdot 8^{2} + b\cdot 8 + c = a\cdot 64 + 8b + c.
Substituindo os valores encontrados:
Z(8,8)\approx 3{,}088836\cdot 64 + 8(-5{,}074045) + 3{,}783218 \approx 197{,}685504 -40{,}59236 + 3{,}783218 \approx 160{,}876362.
Arredondando para a precisão das opções fornecidas, o valor previsto é aproximadamente \,160{,}9\,.

Resposta

(E) 160.9

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