Q14: Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a transformação
T(x, y, z)=\left(8 x+6 y-3 z, \frac{y}{5}-2 z, z\right)
e seja Q \subset \mathbb{R}^{3} um paralelepípedo com volume 7. O volume do paralelepípedo transformado T(Q) :
(A) é igual ao volume de Q.
(B) pode ser maior ou menor do que o volume de Q.
(C) é maior do que o volume de Q.
(D) é menor do que o volume de Q.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}
e diz que Q\subset\mathbb{R}^3 é um paralelepípedo com volume 7. A pergunta é: qual é o volume de T(Q) em relação ao volume de Q? As alternativas são:
(A) igual, (B) pode ser maior ou menor, (C) maior, (D) menor.
Passo 2
Conceito importante (a ideia que precisamos usar): uma transformação linear T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n representada por uma matriz A na base padrão multiplica volumes por um fator igual ao valor absoluto do determinante de A. Formalmente, se \operatorname{Vol}(Q) é o volume de um paralelepípedo Q, então
Explicando devagar: um paralelepípedo em \mathbb{R}^3 pode ser visto como o conjunto gerado por três vetores coluna v_1,v_2,v_3. O volume de Q é \big|\det([v_1\;v_2\;v_3])\big|. Aplicando T transforma cada vetor em Av_i, então o novo paralelepípedo tem volume \big|\det([Av_1\;Av_2\;Av_3])\big|=\big|\det(A)\det([v_1\;v_2\;v_3])\big|, daí a fórmula acima. É um resultado padrão em álgebra linear e geometria — o determinante mede exatamente a escala (orientada) de volumes.
Passo 3
Vamos escrever a matriz A que representa T na base canônica. Pegamos os coeficientes das componentes de T(x,y,z). Assim
(Expliquei: peguei os coeficientes da primeira componente 8x+6y-3z para a primeira linha, da segunda componente \tfrac{y}{5}-2z para a segunda linha, e da terceira componente z para a terceira linha. Segui a ordem x,y,z.)]
Passo 4
Cálculo do determinante de A. Observa que A é uma matriz triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares o determinante é o produto das entradas da diagonal principal. Então
\det(A)=8\cdot \tfrac{1}{5}\cdot 1=\tfrac{8}{5}.
Aqui mostrei passo a passo: multiplicamos 8 por \tfrac{1}{5} que é \tfrac{8}{5}, e depois por 1 que deixa o valor igual a \tfrac{8}{5}.